ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Triangle orthique et ses bissectrices       niveau 3ème/2nde
     Une application des angles inscrits

Dans la figure ci-dessous, on a tracé les hauteurs (AH), BK) et (CL) d'un triangle ABC dont les angles sont aigus :

Démontrer que ces hauteurs sont les bissectrices du triangle HKL, dit triangle orthique de ABC.

Indications :   


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer les sommets A, B et C du triangle
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

On a tracé les cercles (c1) et (c2) de diamètres respectifs [AC] et [BC]; en vertu du théorème cité ci-dessus, ils passent par L et H d'une part et par L et K d'autre part.

En application des angles inscrits, on a :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer les sommets A, B et C du triangle
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Deux angles ayant même complément ont même mesure, or ^HAC a pour complément ^ACH dans le triangle rectangle HAC et ^KBC a également ^ACH pour complément dans le triangle rectangle BKC. Par conséquent :

En conclusion : (CL) est la bissectrice intérieure de l'angle HLK; et puisque (AB) (CL), (AB) en est la bissectrice extérieure; on raisonnerait de même sur les deux autres angles du triangle HKL.


© Serge Mehl - www.chronomath.com