ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Triangle orthique et ses bissectrices       niveau 3ème/2nde      Une application des angles inscrits

Dans la figure ci-dessous, on a tracé les hauteurs (AH), BK) et (CL) d'un triangle ABC dont les angles sont aigus :

Démontrer que ces hauteurs sont les bissectrices du triangle HKL, dit triangle orthique de ABC.

Indications :   

• Il est rappelé que si un point M est situé sur un cercle de diamètre AB, alors l'angle ^AMB est droit.

• On tracera les cercles de diamètre [AC] et [BC]; ils passent par L et H d'une part et par L et K d'autre part. En application des angles inscrits, montrer que : ^HAC = ^HLC , ^KBC = ^KLC. Et en se souvenant que deux angles ayant même complément ont même mesure, en déduire : ^HLC = ^KLC. Conclure.

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Vous pouvez déplacer les sommets A, B et C du triangle

On a tracé les cercles (c1) et (c2) de diamètres respectifs [AC] et [BC]; en vertu du théorème cité ci-dessus, ils passent par L et H d'une part et par L et K d'autre part.

En application des angles inscrits, on a :

• ^HAC = ^HLC  car ces angles  interceptent l'arc HC de (c1);

• ^KBC = ^KLC  car ces angles  interceptent l'arc KC de (c2).

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Vous pouvez déplacer les sommets A, B et C du triangle

Deux angles ayant même complément ont même mesure, or ^HAC a pour complément ^ACH dans le triangle rectangle HAC et ^KBC a également ^ACH pour complément dans le triangle rectangle BKC. Par conséquent :

• ^HAC = ^KBC , donc : ^HLC = ^KLC

En conclusion : (CL) est la bissectrice intérieure de l'angle HLK; et puisque (AB) (CL), (AB) en est la bissectrice extérieure; on raisonnerait de même sur les deux autres angles du triangle HKL.