ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Triangle orthique et ses bissectrices         niveau 3ème/2nde
     Une application des angles inscrits

Dans la figure ci-dessous, on a tracé les hauteurs (AH), BK) et (CL) d'un triangle ABC dont les angles sont aigus.

Démontrer que ces hauteurs sont les bissectrices du triangle HKL, dit triangle orthique de ABC.

Indications :   

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

On a tracé les cercles (c1) et (c2) de diamètres respectifs [AC] et [BC]; en vertu du théorème cité ci-dessus, ils passent par L et H d'une part et par L et K d'autre part. En application des angles inscrits, on a :

Deux angles ayant même complément ont même mesure, or ^HAC a pour complément ^ACH dans le triangle rectangle HAC et ^KBC a également ^ACH pour complément dans le triangle rectangle BKC. Par conséquent :

En conclusion : (CL) est la bissectrice intérieure de l'angle HLK; et puisque (AB) (CL), (AB) en est la bissectrice extérieure; on raisonnerait de même sur les deux autres angles du triangle HKL.


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