Duplication du cube selon Eratosthène

La ville de Délos possédait un autel cubique à la gloire d'Apollon. Afin de débarrasser la ville d'une épidémie de peste, l'oracle avait exigé la construction d'un autel exactement deux fois plus grand. Les artisans se mirent au travail en construisant un autel de côté double. La peste persista. On comprit alors qu'il fallait doubler le volume de l'autel. big problem !

Si c désigne le côté du cube initial, il s'agit de construire (au sens euclidien qu'imposa auparavant Platon) un segment de mesure x tel que :

Le problème revient donc à construire un segment de mesure r tel que r³= 2, c'est à dire la racine cubique de 2, notée

➔ L'impossibilité d'une telle construction ne fut prouvée qu'au 19è siècle par Wantzel en utilisant les résultats d'Abel relatifs aux équations algébriques.

Eratosthène imagina un procédé mécanique, appelé mésolabe (du grec mesos = moyenne et lambanein = prendre) : découpons trois rectangles identiques posés sur une glissière. Traçons les diagonales de ces rectangles comme indiqué ci-dessous :

En faisant glisser le second sur le premier et le troisième sur le second, les diagonales de ces rectangles engendrent les points d'intersection mobiles E et G avec les bords droits des premier et second rectangles (supposés transparents) :

Si votre navigateur (comme Microsoft Internet Explorer) accepte les applets Java du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet, faisons en sorte (en déplaçant les points noirs •) par approximations successives que les points A, E, G et M soient alignés, M désignant le milieu du bord droit du troisième rectangle :

La figure ci-dessous a été réduite afin de de pouvoir visualiser le point O, intersection de [AM) avec la glissière. Les rectangles étant supposés de longueur (hauteur) 2c, posons x = EE' et y = GG'.

Nous avons alors, en vertu du théorème de Thalès utilisé alternativement en faisant intervenir les segments verticaux (en vert) et les segments diagonaux (en rouge) :

! Attention : certains élèves λ, auraient écrit, en vous regardant bien dans les yeux et sans sourciller avec le motif "comme c'est parallèle, j'applique Thalès, donc "2c/x = x/y = y/c". Chez l'élève λ, le donc est un argument décisif, une preuve irréfutable, un critère, une manifestation de la vérité. C'est plus court mais plus souvent très faux...

On déduit de la double égalité (e) ci-dessus : y⁴ = c²x² = 2c³y. Par conséquent :

La mesure y réalise donc mécaniquement, donc de façon approchée bien sûr, la duplication du cube : elle représente la mesure du côté du cube dont le volume est le double de celui de côté c.

Les figures ci-dessus ont été obtenues avec le logiciel Cabri-Géomètre. On voit que l'égalité des rapports n'est pas facile à obtenir.

➔ Expérimentalement, voyez la page de l'appli CabriJava; on obtient l'encadrement 1,25c < y < 1,27 soit, vu que y

c représente la racine cubique de 2 :