ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Bonus-Malus et pub du bonus à vie des assurances...
niveau Terminale
STG |
1°/ Un conducteur n'ayant jamais d'accident responsable voit son assurance baisser de 5% par an. Dans combien d'années aura-t-il un bonus de 50% (c'est le maximum autorisé par la loi) ?
2°/ Un conducteur ayant eu un accident responsable a vu sa cotisation d'assurance augmenter de 25% (*). Sachant que tous les ans, s'il n'a pas d'accident responsable, la cotisation de ce conducteur baissera de 5%, dans combien d'années aura-t-il retrouvé son ancienne cotisation ?
(*) C'est la pénalité imposée généralement par tous les assureurs. Règle pondérée il est vrai par un "joker" si vous avez atteint le bonus maximum de 50% autorisé par la loi depuis au moins 3 ans. Le bonus 50% "à vie" avancé par certains assureurs dans des pubs TV pour allécher le client potentiel relève, sans être une arnaque, d'une certaine filouterie...
En cas de bonus 50%, en règle générale, votre bonus saute après 2 accidents responsables et vous repartez à 0% si vous n'êtes pas viré... Si vous avez répondu correctement à la question 1, vous avez constaté qu'il vous faut plus de 13 ans afin d'accéder au fameux bonus. A ces 13 années, il faut en ajouter 3 pour obtenir le bonus à vie de quelques généreux assureurs. La probabilité que vous ayez 2 accidents responsables successifs après 16 années d'excellent conducteur est certainement "très faible" selon les statistiques des assureurs, ce qui leur permet leurs pubs sans trop de risque...
La filouterie réside principalement
dans le discours "Vous gardez votre bonus 50% même en cas d'accident
responsable". En fait, selon la loi, le Coefficient Réduction/Majoration
(CRM), autrement dit bonus/malus, doit s'appliquer. En cas d'accident
responsable, l'assureur vous octroiera 50% après
la majoration légale. Dans le cas de la question 2, cela signifiera que votre
coefficient passera à 1,25 × 0,5 = 0,625.
Vous êtes à 62,5% mais votre bonus à vie a fait effet... Ils sont malins ces
assureurs !
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Solution : |
1°/ 5% de bonus par an correspond à un coefficient multiplicateur de 0,95 applicable à chaque renouvellement du contrat d'assurance. Le coefficient résultant au bout de n années de cotisation est alors (0,95)n. Il s'agit de connaître la plus petite valeur de l'entier n afin que ce nombre atteigne le seuil de 50%, soit un coefficient multiplicateur de 0,50. On résout donc l'inéquation :
(0,95)n ≤ 0,50
On passe au logarithme népérien ou décimal. Prenons le logarithme népérien :
n × ln(0,95) ≤ ln(0,50)
! 0,95 étant plus petit que 1, son log est négatif. En isolant n par division dans le 1er membre, on divise par un nombre négatif et on doit alors changer le sens de l'inégalité !!!
n ≥ ln(0,50)/ln(0,95)
La calculatrice fournit n
≥ 13,513... Le
bonus maximal est obtenu la 14è année si aucun accident responsable n'est à
déplorer. C'est long. Et les assureurs ne vous font jamais de cadeau car, de
plus :
2°/ En cas d'accident responsable, vous ne perdez pas 5% mais 25% !!! (en cas de responsabilité partagée, le taux n'est que de 12,5%). Le coefficient multiplicateur appliqué à ce conducteur est alors 1,25.
L'année suivante, sans accident, son coefficient est 1,25 × 0,95. Encore un an plus tard sans accident, ce coefficient est multiplié par 0,95. Sa situation initiale (pas de majoration) correspond à un coefficient égal à 1. On résout donc ici l'inéquation :
1,25 × (0,95)n ≤ 1
C'est à dire :
(0,95)n ≤ 0,8
n ≥ ln(0,8)/ln(0,95)
n ≥ 4,35...
Ce conducteur retrouvera sa situation antérieure au début de la 5ème année. Dur !!!
Dura lex, sed lex