ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Intérêts composés        niveau 1ère à Terminale (si usage du log)

Rappels :   

• un placement à intérêts simples n'est pas réactualisé chaque année : les intérêts sont proportionnels à la durée de placement. Si t est le taux (ici ce pourrait être 4,5 et non 4,5% qui signifie 4,5/100), C le capital, n le nombre de jours (resp. de mois), l'intérêt simple acquis au bout de n jours (resp. de mois) est :

  C x t x n /36000      (resp. C x t x n /1200)

  »  intérêts simples #1 , intérêts simples #2

   

• un placement à intérêts composés est réactualisé chaque année : les intérêts portent sur le capital augmenté des intérêts de l'année écoulée (valeur acquise). Ainsi, la valeur acquise au bout de :

1 année	:	C + t% × C	=	C(1 + t%)
2 années	:	C(1 + t%) + t% × C(1 + t%)	=	C(1 + t%)2
3 années	:	C(1 + t%)2+ t% × C(1 + t%)2	=	C(1 + t%)3
...		...		...
n années	:	C(1 + t%)n-1 + t% × C(1 + t%)n-1	=	C(1 + t%)n

 ➔  Un tel placement est évidemment beaucoup plus rémunérateur. C'est celui de la plupart des épargnes. On constate que la suite des valeurs acquises est une suite géométrique de raison (1 + t%).

En combien de temps un "jeune" ayant placé un capital de 1000 € à 4,5% sur son "livret jeune"
à intérêts composés verra-t-il son capital augmenté de 50% ?

Solution :     

Le nombre n d'années est solution de l'équation 1000 x (1 + 4,5/100)ⁿ = 1500, soit :

• On peut procéder par essais successifs avec la calculatrice : 1,045² ; 1,045³ ; 1,045⁴ ; ... pour constater que la réponse se situe entre 9 et 10 ans.
• En classe terminale, on utilise les logarithmes (décimaux ou népériens) :

1,045ⁿ = 1,5  ⇔  n × log 1,045 = log 1,5  ⇔  n = log 1,5/log 1,045

D'où n ≅ 9,21 années, soit environ 9 ans et 3 mois.