Karen et sa fortune

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Un problème de d'Alembert niveau 3ème/2nde
Exercice "modernisé" extrait de l'Encyclopédie de d'Alembert

Karen est une étudiante très économe :

Elle augmente tous les ans sa petite fortune (argent de poche fourni par ses parents, baby-sittings) d'un tiers de son contenu tout en prélevant 100 € par an qu'elle dépense pour son plaisir.
Au bout de trois ans ses économies ont doublé.

Question : combien Karen avait d'argent au commencement de ces trois ans ?

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

Solution :

choix de l'inconnue

Appelons x la somme d'argent au début des trois années

Mise en équation

A la fin de la première année sa fortune s'élève à :
(x -100) + (x -100) /3 = (4x - 400)/3

A la fin de la seconde année sa fortune s'élève à :
(4x - 400)/3 - 100 + [(4x - 400)/3 - 100]/3 = (16x - 2800)/9

A la fin de la troisième année sa fortune s'élève à :
(16x - 2800)/9 - 100 + [(16x - 2800)/9 - 100]/3 = (64x - 14800)/27

La question se réduit donc à résoudre l'équation :
(64x - 14800)/27 = 2x

Résolution

64 x - 14800 = 27 × 2x

64x - 14800 = 54x

64x - 54x = 14800

10x = 14800

x = 1480

Conclusion

Karen possédait 1480 €

choix de l'inconnue	Appelons x la somme d'argent au début des trois années
Mise en équation	A la fin de la première année sa fortune s'élève à : (x -100) + (x -100) /3 = (4x - 400)/3 A la fin de la seconde année sa fortune s'élève à : (4x - 400)/3 - 100 + [(4x - 400)/3 - 100]/3 = (16x - 2800)/9 A la fin de la troisième année sa fortune s'élève à : (16x - 2800)/9 - 100 + [(16x - 2800)/9 - 100]/3 = (64x - 14800)/27 La question se réduit donc à résoudre l'équation : (64x - 14800)/27 = 2x
Résolution	64 x - 14800 = 27 × 2x 64x - 14800 = 54x 64x - 54x = 14800 10x = 14800 x = 1480
Conclusion	Karen possédait 1480 €