ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Un problème de sous...         exercice extrait de l'Encyclopédie de d'Alembert au terme équation

Une personne, voulant distribuer trois sous à un certain nombre de pauvres, trouve qu'il lui manque huit sous. Elle ne leur donne ainsi à chacun que deux sous, et elle a trois sous de reste.

On demande combien cette personne avait d'argent, et combien il y avait de pauvres ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

= La solution de d'Alembert =


= Autre formulation possible de la solution  =

Choix de l'inconnue :   Choisissons de rechercher le nombre des pauvres; soit x ce nombre.

Si on prend la somme d'argent comme inconnue la résolution sera un peu plus difficile : voir ci-après

Mise en équation :   Évaluons dans chaque cas la somme d'argent de la généreuse personne :

 en voulant donner trois sous à chacun, il lui en manque 8, la somme d'argent est donc 3x - 8;
 en voulant donner deux sous à chacun, il lui en reste 3, la somme d'argent est donc
2x + 3;
 On a donc l'égalité :
3x - 8 = 2x + 3 , équation permettant de résoudre notre petit problème.

Résolution :

3x - 8 = 2x + 3

3x - 2x = 3 + 8

x = 11

Conclusion :  Il y avait donc 11 pauvres et la somme d'argent était 25 sous : 3 x 11 - 8 ou 2 x 11 + 3.


= Autre solution =

Choix de l'inconnue :

Soit x la somme d'argent de la généreuse personne et p le nombre de pauvres

Mise en équation :

 en voulant donner trois sous à chacun, il lui en manque 8, on a donc x + 8 = 3p.
 en voulant donner deux sous à chacun, il lui en reste 3, on a donc x - 3 = 2p.
 On a donc les égalités x + 8 = 3p 
et x - 3 = 2p

On obtient donc là un système de 2 équations à 2 inconnues

Résolution :

Procédons par soustraction :

                                        x+ 8 - (x - 3) = p

                                        x + 8 - x + 3 = p

                                       11 = p

Conclusion :

Il y avait donc 11 pauvres et la somme d'argent était 25 sous : 3 x 11 - 8 ou 2 x 11 + 3.


© Serge Mehl - www.chronomath.com