ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Kappa       » du grec κ (kappa) dont l'écriture minuscule cursive ressemble à un x

Cette courbe algébrique du 4ème degré (quartique) fut étudiée dès le 17è siècle par Isaac Barrow dans ses Lectiones Geometricae (1674) ainsi que par Newton, son élève, et Jean Bernoulli dans le cadre du calcul différentiel.

En voici une définition "modernisée" :    

Dans un repère orthonormé d'origine O, soit A(0,a) un point d'ordonnée positive. Soit P un point mobile situé sur la parallèle à Ox passant par A; le cercle de centre O, de rayon AP, coupe [OP) en M. Lorsque P varie, M décrit un kappa.

L'équation polaire de cette courbe s'obtient très facilement : en posant (Ox,OM) = t, on obtient immédiatement r = a.tan(π/2 - t), soit :

 r = a/tan t

   De cette équation, on déduit une équation paramétrique de la Kappa :

x = a.(1/sin t - sin t) ,  y =a.cos t

 !  L'équation cartésienne peut être obtenue en élevant au carré les expressions de x et y (ce n'est pas une transformation régulière, les signes de x et de y sont perdus) : on obtient une courbe de centre O admettant (Ox) et (Oy) comme axes de symétrie et les droites d'équations y = ± a comme asymptotes horizontales :

x2(a2 - y2) = y4

que l'on établira aisément à partir de l'équation paramétrique :

 !  Choisir y = ± a dans l'équation cartésienne x2(a2 - y2) = y4, conduit à 0 = y : prudence, nous somme ici en présence d'une équation implicite d'une courbe algébrique ! Le fait d'obtenir cette valeur contradictoire signifie une indéfinition ou une valeur asymptotique :

Courbes algébriques : »

Selon H. Brocard et T. Lemoyne (» réf. 1) :

  Newton, élève de Barrow, reprit l'étude de ce dernier dans son traité sur la Méthode des fluxions sous la forme suivante :

Dans un repère orthonormé, un angle droit  ^OMP se déplace de sorte que P glisse sur [Ox), MP garde une mesure constante et [MP) passe par O; dans ces conditions M décrit un kappa.

  Jean Bernoulli définit ainsi le kappa :

    Les trois définitions sont étudiées géométriquement ci-dessous au moyen du logiciel Cabri-Géomètre dans sa version CabriJava pour l'Internet :


Kappa selon Barrow


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Génération du Kappa selon Barrow : déplacer P; pour effacer le lieu
double-cliquer dans la figure

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Kappa selon Newton


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Génération du Kappa selon Newton : déplacer P; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java



Kappa selon Jean Bernoulli


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Génération du Kappa selon Jean Bernoulli : déplacer B; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java


   Pour en savoir plus :


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