ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Kappa          courbe rappelant la lettre grecque Κ (kappa) dans sa forme minuscule cursive :

Cette courbe algébrique du 4ème degré (quartique) fut étudiée dès le 17è siècle par Isaac Barrow dans ses Lectiones Geometricae (1674) ainsi que par Newton, son élève, et Jean Bernoulli dans le cadre du calcul différentiel.

En voici une définition "modernisée" :    

Dans un repère orthonormé d'origine O, soit A(0,a) un point d'ordonnée positive. Soit P un point mobile situé sur la parallèle à Ox passant par A; le cercle de centre O, de rayon AP, coupe [OP) en M. Lorsque P varie, M décrit un kappa.

L'équation polaire de cette courbe s'obtient très facilement : en posant (Ox,OM) = t, on obtient immédiatement r = a.tan(π/2 - t), soit :

 r = a/tan t

De cette équation, on déduit une équation paramétrique de la Kappa :

x = a.(1/sin t - sin t) ,  y =a.cos t

Mais, pense le lecteur, pourquoi Kappa ? L'appellation fait allusion au kappa minuscule de l'écriture cursive : , proche de notre x, et correspondant à la courbe obtenue au moyen de l'équation cartésienne :

x2(a2 - y2) = y4

que l'on établira aisément à partir de l'équation paramétrique :

L'équation cartésienne ci-dessus a été obtenue en élevant au carré les expressions de x et y (ce n'est pas une transformation régulière) : c'est dire que si l'on trace la courbe au moyen de cette équation ou celle obtenue par échange de x et y :

y2(a2 - x2) = x4

on obtient une courbe de centre O admettant (Ox) et (Oy) comme axes de symétrie et les droites d'équations x = ± a comme asymptotes verticales (ci-contre à gauche).

Selon H. Brocard et T. Lemoyne ( réf. 1) :

  Newton, élève de Barrow, reprit l'étude de ce dernier dans son traité sur la Méthode des fluxions sous la forme suivante :

Dans un repère orthonormé, un angle droit  ^OMP se déplace de sorte que P glisse sur [Ox), MP garde une mesure constante et [MP) passe par O; dans ces conditions M décrit un kappa.

  Jean Bernoulli définit ainsi le kappa :

Dans un repère orthonormé, on place A(0,a), a > 0, et on considère le cercle de diamètre [OA]; soit B un point du demi-cercle supérieur; la médiatrice de [OB] coupe le cercle en J (d'ordonnée positive); la parallèle à (Ox) passant par J coupe [OB) en M; lorsque B décrit le demi-cercle supérieur M décrit un kappa.

Les trois définitions sont étudiées géométriquement ci-dessous au moyen du logiciel Cabri-Géomètre dans sa version CabriJava pour l'Internet :

= génération du Kappa selon Barrow : déplacer P; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure =


= génération du Kappa selon Newton : déplacer P; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure =


= génération du Kappa selon Jean Bernoulli : déplacer B; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure =


Pour en savoir plus :


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