ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Oscillation d'un ressort       TD niveau TerS          Équations différentielles

La relation fondamentale de la dynamique s'exprime par :

F = Mγ

Elle signifie qu'un objet, assimilé à un point matériel de masse M, est soumis à une force résultante Mγγ désigne le vecteur accélération de l'objet à l'instant considéré.

Considérons le schéma ci-dessous où un objet de masse M est suspendu à un ressort :

A tout instant, la masse est soumise à une force de rappel du ressort, force ϕ proportionnelle à l'élongation x de celui-ci (son étirement et on suppose ne pas dépasser la limite d'élasticité).

Cette élongation mesure la distance x(t) entre la position à vide et la position à l'instant t lorsque la masse est accrochée et l'ensemble oscillant. On a donc :

ϕ = k.x(t) où la constante k est la raideur du ressort

On sous-entend des conditions parfaites, c'est à dire qu'aucune force autre que la masse et la raideur du ressort n'influencent le système.

 Ce qui, en toute rigueur, est faux compte tenu de la résistance de l'air et l'élasticité non parfaite du ressort. Notre solution ne sera valable que pendant un court laps de temps t.

Il s'agit maintenant de déterminer l'équation du mouvement de l'objet en fonction du temps. Pour simplifier, on prendra g = 10 m/s2 (constante de gravitation) k et M sont des constantes. Et pour des calculs numériques simples, nous supposons le rapport k/M égal à 100.

M.x" + k.x = Mg - k.x

soit dans notre cas :

x" + 100x = 10

Donc :

x = 0,1 + a.cos 10x + b.sin 10x
x(t) = [1 - cos 10t]/10

 La solution est donc sinusoïdale. Elle est en fait sinusoïdale amortie car la résistance de l'air et la non totale élasticité du ressort apportent une perturbation dans l'équation différentielle : les solutions complexes α ± iβ, de partie réelle α négative dans l'équation caractéristique, amènent un coefficient exponentiel décroissant dans la solution qui est alors de la forme :

x(t) = eαt(a.cos βt + b.sin βt)

et la courbe ressemblerait alors à cela :


 


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