ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La radioactivité, un phénomène exponentiel  #4      » #1 , #2 , #3 , #5      » variante moins chimique...  »  Différentielle , Équations différentielles     Exo/TD niveau TerES/TerS

• Le radium est une substance extrêmement radioactive, de masse atomique 226.

• Le radium se désintègre de façon naturelle et on a constaté que le nombre d'atomes de radium se désintégrant dans un court intervalle de temps [t, t + dt] est proportionnel :

  1. au temps écoulé dt;

  2. au nombre d'atomes présents à l'instant t.

• On a également constaté expérimentalement que le nombre d'atomes de radium se désintégrant en une seconde est, pour un gramme de radium, de l'ordre de 3,68.10¹⁰.

On rappelle que le nombre d'Avogadro est 6,022.10²³ et que la période d'une substance radioactive est le temps nécessaire pour qu'une masse donnée de cette substance diminue de la moitié de sa valeur.

Quelle est, en nombre d'années, la période du radium ?

Si l'on note N(t) le nombre d'atomes de radium présents à l'instant t (t est exprimé en secondes), on a, compte tenu des observations constatées :

Ce que l'on peut écrire, N' = dN/dt désignant la dérivée de N par rapport à t :  N' = -kN

On en déduit (→ radium 1 en remplaçant N par m) :

N(t) = N_oe^-kt                   »  cas fondamental  y' = ky

où N_o désigne le nombre d'atomes au temps t = 0 (début de l'observation) et k une constante que l'on calcule au moyen de la proportionnalité ΔN = -k × N pour Δt = 1.

• Le nombre d'Avogadro Na est est le nombre d'atomes dans 1 mole de matière. Donc 1 gramme de radium contient Na/226 atomes. D'où :
  

• k = 3,68.10¹⁰ × 226 / 6.022.10²³ ≅ 1,3811.10^-11.
  

• La période T, laps de temps pour passer de N_o atomes à N_o/2 atomes, est égale à ln(2)/k secondes (ln désigne le logarithme népérien), soit environ :