ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équation différentielle linéaire du 1er ordre      » plus difficile

On considère l'équation différentielle du 1er ordre :

(e)         2y' - y = x

1°/ On pose y = h(x) - x + a, a∈R. Calculer le réel a afin que l'équation (e) se réduise à :

(h)         2h'(x) - h(x) = 0

2°/ Calculer la solution générale de l'équation (h). 

3°/ Déduire des résultats précédents la solution de l'équation (e) vérifiant y(0) = 1.
      Réponse (utile pour le 4°) : y = 3e^x/2 - x - 2

4°/ Étudier brièvement et représenter les variations de la solution trouvée (courbe intégrale). On justifiera la présence d'une droite asymptote en -∞.

1°/ On peut écrire, en dérivant y = h(x) - x + a : y' = h' - 1. en reportant dans (e), il vient :

2h' - h = a + 2

On a donc a = -2.

2°/ L'équation (h) est une équation différentielle du 1er ordre sans second membre : h'/h = 1/2. La solution générale est donc h = ke^x/2.

3°/ On déduit de 2° que y = ke^x/2 - x - 2 avec y(0) = 1, donc  k = 3.

y = 3e^x/2 - x - 2

4°/ Selon l'équation (e), y ' est signe de x + y, donc de 3e^x/2 - 2

3e^x/2 - 2 ≤ 0   ⇔   3e^x/2 ≤ 2     ⇔   x/2 ≤ ln(2/3)     ⇔   x ≤ 2ln(2/3). Soit, sensiblement x ≤ - 0,81. En cette valeur de x, y' = 0 et la courbe admet une tangente parallèle à (Ox). Il s'agit d'un minimum en lequel y = - x ≅ 0,81.

• Lorsque x devient infini positif, l'exponentielle e^x/2 l'emporte sur x, donc y tend vers +∞.

• Lorsque x devient infini négatif, l'exponentielle e^x/2 tend vers 0, donc y tend vers -(-∞) = +∞. De plus, y + x + 2 = 3e^x/2 tend vers 0. La droite d'équation y + x + 2 = 0 est asymptote à la courbe.

• Comme calculé en 3°, la courbe passe par le point de coordonnées (0,1).