ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Exemple d'équation différentielle linéaire du 1er ordre

On considère l'équation différentielle du 1er ordre :

(e)         2y' - y = x

1°/ On pose y = h(x) - x + a, a R. Calculer le réel a afin que l'équation (e) se réduise à :

(h)         2h'(x) - h(x) = 0

2°/ Calculer la solution générale de l'équation (h).

3°/ Déduire des résultats précédents la solution de l'équation (e) vérifiant y(0) = 1.
      Réponse (pour le 4°) : y = 3ex/2 - x - 2

4°/ Étudier brièvement et représenter les variations de la solution trouvée. On justifiera la présence d'une droite asymptote en -∞.

Si vous séchez après avoir bien cherché : 
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Solution :

1°/ On peut écrire, en dérivant y = h(x) - x + a : y' = h' - 1. en reportant dans (e), il vient :

2h' - h = a + 2

On a donc a = -2.

2°/ L'équation (h) est une équation différentielle du 1er ordre sans second membre : h'/h = 1/2. La solution générale est donc h = kex/2.      équ. diff. lin. du 1er ordre

3°/ On déduit de 2° que y = kex/2 - x - 2 avec y(0) = 1, donc  k = 3.

y = 3ex/2 - x - 2

4°/ Selon l'équation (e), y ' est signe de x + y, donc de 3ex/2 - 2

3ex/2 - 2 ≤ 0   ⇔   3ex/2 ≤ 2     ⇔   x/2 ≤ ln(2/3)     ⇔   x ≤ 2ln(2/3). Soit, sensiblement x ≤ - 0,81. En cette valeur de x, y' = 0 et la courbe admet une tangente parallèle à (Ox). Il s'agit d'un minimum en lequel y = - x 0,81.


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