ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Circuit RC        niveau Ter        » Équations différentielles        »  circuit RLC

Considérons le circuit ci-dessous où C désigne un condensateur chargé, de capacité C farads, R une résistance de R ohms, V_m un voltmètre et K un interrupteur.

En fermant le circuit au moyen de K, le condensateur se décharge et au bout d'un temps t, exprimé en secondes, le voltmètre indique une différence de potentiel V(t).

Pour une résistance de 100000 Ω, il a fallu deux secondes pour que la différence de potentiel passe de 60 volts (fermeture de K) à 5 volts. Quelle est la capacité du condensateur ?

 ➔   Quelques précisions :  un condensateur est capable d'accumuler de l'énergie entre deux armatures métalliques séparées par un isolant électrique. Il est caractérisé par sa capacité d'emmagasinage C et la tension V aux bornes de ses armatures. Sa charge Q est par définition le produit de C par V :

L'unité de charge est le coulomb (Cb) du nom du physicien français Charles de Coulomb (1736-1806). L'unité de capacité est le farad (F), du nom du physicien anglais Michaël Faraday (1791-1867), correspondant à une charge de 1 coulomb pour une tension de 1 volt entre ses armatures.

On désigne par V_o et Q_o la différence de potentiel et la charge du condensateur au temps t = 0 : instant de fermeture de K.

• La charge d'un condensateur en fonction du temps est q(t) = C.V(t)

• La loi d'Ohm exprime que V(t) = R.I(t)

• Par définition de l'intensité de courant, on a dq = -I(t).dt, le signe négatif exprimant une perte de charge proportionnelle à l'intensité à l'instant t considéré et au laps de temps écoulé dt entre t et t+dt.

Il suit que :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du 1er ordre (forme y' = ay déjà rencontrée en radioactivité) dont la solution générale est :

la constante k ne dépend que des conditions initiales : valeur de y en x = 0. Ainsi q(t) = q_o.e^-t/RC , d'où :

Avec V_o = 60 , R = 100000 , t = 2 , V(2) = 5, on obtient : 12 = e^2/100000C, soit C = 1/(50000 x ln 2), exprimé en farads :