ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Circuit RC        niveau Ter        Équations différentielles         circuit RLC

Considérons le circuit ci-dessous où C désigne un condensateur chargé, de capacité C farads, R une résistance de R ohms, Vm un voltmètre et K un interrupteur.

En fermant le circuit au moyen de K, le condensateur se décharge et au bout d'un temps t, exprimé en secondes, le voltmètre indique une différence de potentiel V(t).

Pour une résistance de 100000 Ω, il a fallu deux secondes pour que la différence de potentiel passe de 60 volts (fermeture de K) à 5 volts. Quelle est la capacité du condensateur ?

 Quelques précisions :  un condensateur est capable d'accumuler de l'énergie entre deux armatures métalliques séparées par un isolant électrique. Il est caractérisé par sa capacité d'emmagasinage C et la tension V aux bornes de ses armatures. Sa charge Q est par définition le produit de C par V :

Q = C x V

L'unité de charge est le coulomb (Cb) du nom du physicien français Charles de Coulomb (1736-1806). L'unité de capacité est le farad (F), du nom du physicien anglais Michaël Faraday (1791-1867), correspondant à une charge de 1 coulomb pour une tension de 1 volt entre ses armatures.

Si vous séchez après avoir bien cherché :
© Serge Mehl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

On désigne par Vo et Qo la différence de potentiel et la charge du condensateur au temps t = 0 : instant de fermeture de K.

Il suit que :

dq/dt = -I(t) = -V(t)/R = -q(t)/RC

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du 1er ordre (forme y' = ay déjà rencontrée en radioactivité) dont la solution générale est :

y = k.eax

la constante k ne dépend que des conditions initiales : valeur de y en x = 0. Ainsi q(t) = qo.e-t/RC , d'où :

V(t) = qo/C x e-t/RC = Vo x e-t/RC

Avec Vo = 60 , R = 100000 , t = 2 , V(2) = 5, on obtient : 12 = e2/100000C, soit C = 1/(50000 x ln 2), exprimé en farads :

C = 0,000008049... F 8 μF
 


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