ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équation différentielle du 1er ordre et courbes intégrales #1         
 
#2 , #3 (chgt de variable)         voir aussi...

1°)  Résoudre l'équation différentielle du 1er ordre :

(e)        x3y' + 3x2y = 1                  équations différentielles linéaires

2°) On note y = fk(x) les solutions de (e), k étant une constante arbitraire.

    Représenter les courbes intégrales pour k = ±4, ±1/3 (on se limitera à une étude rapide des sens de variation).

3°) Quel est l'ensemble des points du plan correspondants aux points des courbes intégrales où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. Représenter cet ensemble.

Si vous séchez après avoir bien cherché : 
© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°) L'équation (e) est une équation différentielle linéaire du 1er ordre. On remarque que x ne peut être nul. On résout tout d'abord l'équation sans second membre qui se ramène à une équation très simple à variables séparables : dy/y = -(3/x)dx. D'où y = C/x3 (C constante arbitraire).

On utilise la méthode de la variation de la constante afin d'obtenir une solution particulière de l'équation complète : y = C'/x3 - 3C/x4. D'où C' = 1, soit C = x + k. Finalement

y = fk(x) = 1/x2 + k/x3, k constante arbitraire.

2°) Ci-dessous : en rouge k = -4, en cyan k = +4, en vert k = -1/3, en magenta k = +1/3

 

3°) On peut très simplement répondre à la question en annulant y' dans (e), d'où :

On retrouverait ce résultat en calculant y' = (-2x - 3k)/x4, s'annulant de sorte que k = -2x/3. On reporte dans l'écriture de y = 1/x2 + k/x3 et on retrouve l'équation de l'ensemble cherché.

On a tracé ci-dessous un certain nombre de courbes intégrales. La courbe en cyan (bleu ciel) correspond à l'ensemble demandé.


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