ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cercle polaire d'un triangle également appelé cercle conjugué

Ce cercle polaire n'a aucun lien de parenté avec le cercle de latitude 66° 33' (= 90° - 23° 27' : obliquité de l'écliptique), parallèle à l'équateur, au nord de la planète, frontière nord entre les zones tempérée et glacière. Au nord de ce cercle, en Norvège par exemple, dès fin mai jusqu'en début de l'été, règne le soleil de minuit : le soleil reste visible la nuit...

On considère un triangle ABC dont l'angle  est obtus (triangle obtusangle). Dans ces conditions, l'orthocentre de ABC est extérieur au triangle. Étudions les produits :

HA HA' et HC HC'

Les triangles rectangles HA'C et HC'A sont semblables puisqu'ils ont en commun l'angle ^A'HC. On peut donc écrire en faisant correspondre les côtés homologues :

HA/HC = HC'/HA', soit :

HA x HA' = HC HC'

Les triangles semblables ne sont plus au programme de l'enseignement secondaire. Bien dommage... On s'en sortira cependant très bien avec la propriété de Thalès quitte à reporter C' en C" sur [HA] de sorte que HC" = HC' et à tracer la parallèle à (A'C) passant par C" coupant [HC] en A"; dans ces conditions le triangle HA"C" est isométrique à HAC' et on a, selon la propriété de Thalès : HC"/HA' = HA"/HC, ce qui revient à écrire : HA/HC = HC'/HA'

Considérons alors le cercle de diamètre [HA'] et R un des deux points de ce cercle dont le projeté orthogonal est A. Selon une relation métrique relative à la hauteur dans le triangle rectangle, on a :

HA HA' = HR2

Si l'on trace le cercle de centre H, de rayon HR, (BC) apparaît comme la polaire de A par rapport à ce cercle.

L'égalité HA HA' = HC x HC' montre que l'on obtiendrait le même cercle si l'on avait considéré le cercle de diamètre [HC] : (AB) est la polaire de C par rapport au cercle de centre H passant par R

De même (CA) est la polaire de B par rapport à ce cercle appelé cercle polaire du triangle ABC.

Le cercle polaire, le cercle circonscrit et le cercle d'Euler (cercle des neuf points) ont les mêmes points d'intersection (à droite) : en bleu : le cercle circonscrit; en rose : le cercle d'Euler (passant, entre autres, par les pieds des médianes), en rouge : le cercle polaire.

Gohierre de Longchamps :


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