ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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 Établissement des formules de Serret-Frenet

les valeurs en gras italique désignent des vecteurs. On suppose connue la notion de courbe gauche ainsi que le vocabulaire et les propriétés de base y afférant (tangente, normale, plan osculateur, courbure, ....).

L'espace euclidien usuel de dimension 3 étant rapporté à un repère orthonormé (O, e1, e2, e3). On considère une courbe de l'espace 3D, courbe gauche parcourue par un point M(t), fonction du paramètre t variant dans un intervalle J :

On suppose M(t) régulier pour tout t de J : les coordonnées de M sont continûment dérivables sur J et et ne s'annulent pas simultanément. L'idée de Frenet fut d'étudier la courbe dans un repère orthonormé mobile d'origine M dont les vecteurs, notés provisoirement e1, e2 et e3, sont des fonctions continûment dérivables de t avec la condition que e1 dirige la tangente en M à la courbe. Dans ces conditions, on doit pouvoir écrire :

Préliminaire :   

Soit u(x,y,z) et v(X,Y,Z) deux vecteurs dont les coordonnées sont des fonctions dérivables de t et dont le produit scalaire <u,v> est constant. On note u'(x',y',z') et v'(X',Y',Z') les dérivées par rapport à t. Vérifier que <u',v> + <u,v'> = 0.

Nous allons déterminer les dei/dt en tenant compte des contraintes orthonormales : tout d'abord, le produit scalaire < ei , ej > est nul si i distinct de j (et vaut 1 si i = j). On en déduit par dérivation que < ei , dej/dt > + < dei/dt , ej > = 0 et, en particulier, < ei , dei/dt > = 0 : ei est orthogonal à son vecteur dérivé.

Or < dei/dt , ej > = < ai,1.e1 + ai,2.e2 + ai,3.e3 , ej > = ai,j. On en déduit  ai,j = - aj,i : la matrice des coordonnées est donc antisymétrique ce qui entraîne  ai,i = 0. pour i = 1, 2, 3.


Utilisons l'abscisse curviligne : 
d
τ/dt = dτ/dsd
s/dt = a1,2.n, ce qui conduit, en posant K =  a1,2.dt/ds, à dτ/ds = K.n

Soit, sous forme matricielle :

Interprétation du nombre K défini par dτ/ds = K.n :

dτ/ds = d2OM/ds2 = K.n. Par conséquent :

K2 = || d2M/ds2 || = (d2x/ds2)2 + (d2y/ds2)2 +(d2z/ds2)2

Montrons que K est la courbure en M(s) : on sait qu'elle est la limite du rapport Δâ/Δs lorsque tend Δs vers 0. Or, si on note α, β, γ les cosinus directeurs de la tangente en M(s), qui ne sont autres que les coordonnées du vecteur unitaire tangent τ,  et α + Δα, β +Δβ, γ + Δγ ceux de la tangente en M(s + Δs), l'angle Δâ entre les tangentes vérifie :

cos Δâ = α(α +Δα) + β(β +Δβ) + γ(γ +Δγ)          cosinus directeurs, 4°

et l'identité de Lagrange permet d'écrire :

sin2Δâ = [α(β + Δβ) - β(α + Δα)]2 + [β(γ + Δγ) - γ(β + Δβ)]2 + [γ(α + Δα) - α(γ + Δγ)]2
          = (
αΔβ - βΔa)2 + (βΔγ - γΔβ)2 + (γΔα - αΔγ)2

Divisons par Δs2. On peut écrire :

Passons à la limite lorsque tend vers 0 : le premier rapport du second membre tend vers 1, le second membre tend donc vers (dâ/ds)2, carré de la courbure. Quant au numérateur du 1er membre, il devient (αdβ - βdα)2 + (βdγ - γdβ)2 + (γdα - αdγ)2. On le développe en regroupant les  dα2, dβ2 et dγ2 et en utilisant que α2 + β2 + γ2 = 1 pour tout s (en tant que cosinus directeurs), on obtient :

(αdβ - βdα)2 + (βdγ - γdβ)2 + (γdα - αdγ)2 = 2 + 2 + dγ2 - (αdα + βdβ + γdγ)2

Or la relation α2 + β2 + γ2 = 1 entraîne la nullité pour tout s de sa différentielle dα + 2βdβ + dγ. Par conséquent :

 

Est-ce bien K2 = (d2x/ds)2 + (d2y/ds)2 +(d2z/ds)2 ? oui, car on sait que τ(α,β,γ) = dM/ds, donc α = dx/ds, β = dy/ds et γ = dz/ds : K est donc bien la courbure en M(s).

Rappelons que la courbure K est l'inverse du rayon de courbure R : K = 1/R et par suite, si R est non nul, n = R.dτ/ds = R.d2M/ds2. Si dτ/ds = K.n est nul (courbure nulle) alors est τ constant : les tangentes en M ont la même direction en tout point de J. L'arc de courbe étant continu, il s'agit d'un segment de droite. Inversement, si M décrit une droite, τ est constant et par suite K = 0

Interprétation du nombre T défini par db/ds = - T.n :

db/ds = - T.n. Par conséquent, en notant b(α',β',γ') :

T2 = || db/ds ||2 = (dα'/ds)2 + (dβ'/ds)2 +(dγ'/ds)2

Or, la torsion en un point M(s) est dû/ds, limite du rapport Δû/Δs lorsque tend Δs vers 0, Δû désignant l'angle entre les binormales de deux points infiniment proches M(s) et M(s + Δs). Un calcul en tous points semblable au précédent conduirait donc à :

On retrouve bien le nombre T2 : le nombre T est la torsion au point M(s).

Si la torsion T est nulle, alors db/ds = - T.n = 0, donc b est constant : les tangentes en M restent donc parallèles à un plan (P) orthogonal à b. L'arc de courbe étant continu, ces tangentes sont alors nécessairement  dans un même plan. Par conséquent, il s'agit d'une courbe plane dans un plan parallèle à (P). Inversement, si M décrit une courbe plane, b est constant et par suite T = 0 : la courbe ne se tord pas, son plan osculateur est fixe.

Application des formules de Frenet à l'hélice circulaire :

La courbure et la torsion de l'hélice circulaire sont constantes et valent, avec les notations ci-dessus, respectivement R/(R2 + λ2) et λ/(R2 + λ2). En effet, on a ici :

  • ds = (R2 + λ2)½ dt, donc s = t.(R2 + λ2)½.

  • τ a pour coordonnées : (-R/(R2 + λ2)½.sin t , R/(R2 + λ2)½.cos t , λ/(R2 + λ2)½).


  • d
    τ/ds = dτ/dtdt/ds, donc dτ/ds a pour coordonnées (-R/(R2 + λ2).cos t , -R/(R2 + λ2).sin t , 0).
    Mais d
    τ/ds = K.n, la courbure est donc K = || dτ/ds || = R/(R2 + λ2).
  • n a pour coordonnées : (-cos t, -sin t, 0) : normé et colinéaire à dτ/ds.

  • b = τ ^ n, donc de coordonnées : (λ/(R2 + λ2)½.sin t , -λ/(R2 + λ2)½.cos t , R/(R2 + λ2)½).
    db/ds a pour coordonnées (λ/(R2 + λ2)½.cos t , λ/(R2 + λ2)½.sin t , 0).
    Mais db/ds = -T.n, la torsion est donc T = || db/ds || = λ/(R2 + λ2).

 Avec la définition de l'hélice donnée à la page hélice circulaire, en remarquant que l'on a alors λ = R.tanα, on a les formules :

K = cos2α/R et T = sin α.cosα/R


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