ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  Génération
d'une courbe de Bézier
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Considérons trois points A, B et C et un point O non nécessairement situé dans leur plan. soit t un nombre réel de l'intervalle [0,1]. Pour simplifier les notations, les vecteurs seront écrits en gras (sans flèche surlignée).
Soit :
B' l'image de B par l'homothétie de centre A de rapport t : AB' = t.AB
C' l'image de C par l'homothétie de centre B de rapport t : BC' = t.BC
M l'image de C' par l'homothétie de centre B' de rapport t : B'M = t.B'C'
Par des considérations élémentaires (formule de Chasles), on montre facilement, en choisissant O comme origine, que :
Si O est choisi en A : AM = 2t(1 - t).AB + t2.AC. On peut supposer (A, AC, AB) orthonormé. Dans ce repère, on a alors :
ce qui fournit la courbe ci-dessus et dessous. Au moyen d'un logiciel de géométrie, ici Cabri II de Texas Instruments, dans sa version CabriJava pour Internet, on peut visualiser l'ensemble des points M lorsque t décrit l'intervalle [0,1]. C'est une courbe de Bézier à trois points de contrôle ("poignées") :
) : Revenons à la relation :
En dérivant par rapport à t, on obtient :
et un petit calcul élémentaire conduit à :
Or, M appartient à (B'C') : la courbe de Bézier apparaît ainsi comme l'enveloppe des droites (B'C') lorsque t varie.
En particulier, (AB) et (BC) sont tangentes à la courbe respectivement en A (pour t = 0 : B' = A, C' = B) et en C (pour t = 1 : B' = B, C' = C).
On remarque, en posant Bo(t) = (1 - t)2 , B1(t) = 2t(1 - t) et B2(t) = t2, que l'on peut écrire :
où les Bk sont les polynômes de Bernstein de degré 2. On démontre, d'une façon générale, que l'équation vectorielle d'une courbe de Bézier est de la forme :
où Bk(t) sont les les polynômes de Bernstein de degré n et Ak les n points de contrôle.
Si O n'est pas dans le plan des points A, B et C, on obtient une courbe dans l'espace :
