ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Génération d'une courbe de Bézier  (3 points)            4 points

Considérons trois points A, B et C et un point O non nécessairement situé dans leur plan. soit t un nombre réel de l'intervalle [0,1]. Pour simplifier les notations, les vecteurs seront écrits en gras (sans flèche surlignée).

Soit :

Par des considérations élémentaires (formule de Chasles), on montre facilement, en choisissant O comme origine, que :

OM = (1 - t)2.OA + 2t(1 - t).OB + t2.OC

Si O est choisi en A : AM = 2t(1 - t).AB + t2.AC. On peut supposer (A, AC, AB) orthonormé. Dans ce repère, on a alors :

M(x,y) avec x = t2 , y = 2t(1 - t)

ce qui fournit la courbe ci-dessus.

Au moyen d'un logiciel de géométrie, ici Cabri II de Texas Instruments, dans sa version CabriJava pour Internet, on peut visualiser l'ensemble des points M lorsque t décrit l'intervalle [0,1].

C'est une courbe de Bézier à trois points de contrôle ("poignées").


Manip. : Pour déplacer M sur la courbe, faire varier t. Vous pouvez déplacer les "poignées" A, B et C

Revenons à la relation :

OM = (1 - t)2.OA + 2t(1 - t).OB + t2.OC

En dérivant par rapport à t, on obtient :

dOM/dt = -2(1 - t).OA + (2 - 4t).OB + 2t.OC

et un petit calcul élémentaire conduit à :

dOM/dt = 2B'C'

Or, M appartient à (B'C') : la courbe de Bézier apparaît ainsi comme l'enveloppe des droites (B'C') lorsque t varie.

En particulier, (AB) et (BC) sont tangentes à la courbe respectivement en A (pour t = 0 : B' = A, C' = B) et en C (pour t = 1 : B' = B, C' = C).


On remarque, en posant Bo(t) = (1 - t)2 , B1(t) = 2t(1 - t) et B2(t) = t2, que l'on peut écrire :

OM = Bo(t).OA + B1(t).OB + B2(t).OC

où les Bk sont les polynômes de Bernstein de degré 2. On démontre, d'une façon générale, que l'équation vectorielle d'une courbe de Bézier est de la forme :

où Bk(t) sont les les polynômes de Bernstein de degré n et Ak les n points de contrôle.


Si O n'est pas dans le plan des points A, B et C, on obtient une courbe dans l'espace :

 


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