ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

DICKSON Leonard Eugene, américain, 1874-1954

Étudiant à l'université de Chicago où il fut le premier récipiendaire d'une thèse de doctorat en 1896 dirigée par E. H. Moore (l'université, classée aujourd'hui parmi les meilleures des Etats-Unis, fut fondée en 1892), Dickson compléta sa formation en Europe : Leipzig et Paris.

De retour aux USA en 1900, il obtiendra une chaire d'algèbre à l'université de Chicago qu'il conservera jusqu'à sa retraite en 1939. De 1911 à 1916, il édita la revue Transactions of the American Mathematical Society, consacrée à la recherche en mathématiques pures et appliquées.

Les Transactions of the American Mathematical Society furent créées en 1899 par le mathématicien américain Thomas Fiske (1865-1944), également fondateur de l'American Mathematical Society (AMS).

A l'instar de son maître et dans la continuité de sa thèse de doctorat, les travaux de Dickson portent sur les structures algébriques (groupes, anneaux, corps), la théorie de Galois. Moins connu que Wedderburn, Dickson le précéda cependant dans la théorie des corps finis et dans la preuve que ces derniers sont commutatifs. On lui doit en particulier Algèbres et théorie des nombres, édité en allemand à Leipzig (1927). Il fut, en 1928, le premier récipiendaire du prix Cole pour ses travaux en algèbre ( in fine).

Corps selon Dickson (source Victor J. Katz) :

Après Weber (en 1893), Dickson donna une définition axiomatique d'un corps K (1903) en prouvant que ses 9 axiomes sont indépendants, préoccupation importante à l'époque de la refondation des mathématiques et des travaux de Hilbert :

K est muni de deux opérations notées + et x (ce qui ne signifie nullement que l'on est en présence des addition et multiplication usuelles) vérifiant :

  1. Pour tous a et b dans dans K, a et b sont composables par la loi + : (a,b) a + b est une application de KK dans K (loi de composition interne)
  2. Pour tous a et b dans K, a + b = b +(commutativité)
  3. Pour tous a, b et c dans K, (a + b) + c = a + (b + c)  (associativité)
  4. Pour tous a et b dans K, il existe x dans K tel que (a + x) + b = b
  1. Pour tous a et b dans dans K, a et b sont composables par la loi x : (a,b) a x b est une application de KK dans K (seconde loi de composition interne)
  2. Pour tous a et b dans K, a x b = b x(commutativité)
  3. Pour tous a, b et c dans K, (a x b) x c = a x (b x c)  (associativité)
  4. Pour tous a et b dans K, a non absorbant pour la loi x, il existe c dans K tel que (a x c) x b = b
  1. Pour tous a, b et c dans K, a x (b + c) = a x b + a x c   (distributivité de la loi + sur la loi x )

Les axiomes 1 à 4 définissent un groupe commutatif (groupe abélien), l'axiome 4 assurant un élément neutre et un symétrique pour chaque élément de K; complétés par les axiomes 5, 6, 7 et 9, on obtient un anneau commutatif. L'axiome 8 implique l'existence d'un élément unité pour la loi et d'un inverse pour chaque élément de K s'il n'est pas absorbant (comme l'élément neutre du groupe).

Étude de l'axiome 4 :  

Soit a quelconque dans K. Pour tout b, il existe alors x et y dans K tels que a + x + b = b et b + y + a = a (l'associativité rend les parenthèses inutiles). Posons a + x = e. On a alors e + b = b et aussi b = b + e puisque la loi + est commutative. Mais a + e = (b + y + a) + e = (y + a) + (b + e) = y + a + b = b + y + a = a et ce pour tout a de K : ce qui montre que e est neutre pour la loi +. Maintenant, puisque a + x = e, il s'avère que x est le symétrique de a : on a bien un groupe abélien.

Étude de l'axiome 8 :  

De façon tout à fait semblable, l'axiome 8 implique l'existence d'un élément unité u pour la seconde loi x : pour tout a de K, a x u = u x a = a. L'élément neutre e de la loi est absorbant : c'est toujours le cas et le seul dans un anneau commutatif. Par suite, tout élément de K autre que e admettra un inverse.

Cette définition d'un corps est à rapprocher d'un important théorème de symétrisation : (Bourbaki, Livre II, Algèbre, Ch.1, §2, proposition 4) :

Si (E,T) est un magma associatif et s'il existe dans E un élément s pour lequel les translations à gauche et à droite sont toutes deux surjectives, alors la loi T admet un élément neutre et s est symétrisable.

Les translations à gauche (resp. à droite) relativement à s sont les applications de E dans lui-même définies par x sTx (resp. x xTs). Si la loi T est commutative, les translations à gauche et à droite coïncident. Dans le cas d'une notation additive, il s'agira de x s + x et x x + s. Si E désigne un plan vectoriel, on est en présence d'une translation usuelle.

Weber , Wedderburn , Lehmer


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