ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Un problème de projections         niveau 3ème/2nde

On étudie ici une propriété remarquée par le mathématicien italien Vincenzo Viviani utile dans les représentations statistiques :

Dans un triangle équilatéral, la somme des distances d'un point intérieur au triangle aux trois côtés est égale à sa hauteur.

L'objectif est donc de prouver le résultat suivant :

Étant donné un triangle équilatéral ABC et un point M intérieur à ce triangle, si on note H, K et L les projections orthogonales de M sur les côtés du triangle et J le milieu de [BC], alors MH + MK + ML = AJ.

 Cette égalité exprime que la somme des distances de M aux côtés du triangle ne dépend pas de la position de M dans le triangle.

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer M ou réduire/agrandir le triangle ABC. Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Solution abrégée :   

Des considérations élémentaires sur l'aire d'un triangle permettent d'énoncer :

a x MI/2 , a x MJ/2 et a x MK/2

Conjecture d'Erdös :


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