ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Histoire d'œufs     niveau 1ère

Un beau matin, jour du marché, un fermier cherche à vendre 40 de ses dindonneaux, 50 douzaines d'œufs (non, non, pas des œufs d'autruche...) et 30 Kg de beurre frais en motte qu'il vend par livres (demi-kilogrammes).

A midi, il a vendu la moitié des dindonneaux, 20 douzaines d'œufs et 24 livres de beurre, ce qui lui a rapporté 316 €.

La vente de l'après-midi lui a rapporté 331 € en vendant 18 dindonneaux, trente deux livres de beurre et la moitié des œufs qu'il avait apporté le matin.

Sur le chemin du retour, il réussit à vendre le reste à un passant pour 35 € en faisant cependant une remise de 10% sur les dindonneaux et 50% sur le beurre.

Calculez le prix de vente au matin, d'un dindonneau, d'une douzaine d'œufs et d'une livre de beurre.

Notons (en euros) :

• x le prix d'un dindonneau;
• y celui d'une douzaine d'œufs;
• z le prix d'une livre de beurre (prix du matin).

• A midi, il a vendu 20 dindonneaux, 20 douzaines d'œufs et 24 livres de beurre, ce qui lui a rapporté 316 €. On peut donc écrire 20 × x + 20 × y + 24 × z = 316, c'est à dire, en divisant par 4 les deux membres de l'équation : 5x + 5y + 6z = 79
• La vente de l'après-midi lui a rapporté 331 € en vendant 18 dindonneaux, trente deux livres de beurre et la moitié des œufs qu'il avait apporté le matin : 18x + 25y + 32z = 331
• Sur le chemin du retour, il réussit à vendre le reste à un passant pour 35 € en faisant cependant une remise de 10% sur les dindonneaux et 50% sur le beurre : 9x + 25y + 10z = 175

Cette dernière équation se justifie par :

• Une remise de 10% sur les deux derniers dindonneaux rapporte 1,8 × x euros.
• 50% de 4z font 2z (car il restait 4 livres de beurre sur le chemin du retour).
• Il restait 5 douzaines d'œufs.

donc : 1,8x + 5y + 2z = 35 et on multiplie les deux membres par 5 pour ne manipuler que des nombres entiers.

On obtient donc le système  :

5x + 5y + 6z = 79              (E1)
18x + 25y + 32z = 331       (E2)
9x + 25y + 10z = 175         (E3)

On pourra éliminer y par combinaison :

7x - 2z = 64           (5 x E1- E2)
9x + 22z = 156       (E2 - E3)

Puis :

77x - 22z = 704 
9x + 22z = 156

Ce qui fournit x = 10 et z = 3. (E1) permet alors le calcul de y = 2,2. On vérifie ensuite que les 3 équations sont effectivement vérifiées pour ce triplet (x,y,z).

Les dindonneaux étaient proposés le matin à 10 €, la douzaine d'œufs à 2,2 € et la livre de beurre à 3 €.