ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Histoire d'oiseaux...       niveau 3ème (et tout niveau dès CM1 par essais successifs)

Des oiseaux, fatigués d’une longue migration, se reposent sur les branches hautes et basses d’un arbre. Un oiseau d’une branche du haut qui avait le sens de l’observation et de bonnes capacités d’arithmétique cria à l’un placé sur une branche du bas :

Si je viens te rejoindre nous serons autant en haut et en bas
mais si c’est toi qui viens alors nous serons deux fois
plus nombreux qu’en bas


Combien d’oiseaux y a-t-il sur les branches hautes et basses de l’arbre ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Classe de 3ème :            

Soit h le nombre d'oiseaux sur les branches du haut, b le nombre d'oiseaux sur les branches du bas :

« Si je viens te rejoindre nous serons autant en haut et en bas » : h - 1 = b + 1

« Si c’est toi qui viens alors nous serons deux fois plus nombreux qu’en bas » : h + 1 = 2 x (b - 1)

D'où le système d'équations linéaires qui peut s'écrire :

 h = b + 2
 h = 2b - 3

On en déduit b + 2 = 2b - 3, donc b = 5 et h = 7 en reportant dans la 1ère équation (on vérifie que 7 convient bien en vérifiant dans la seconde équation).

Il y a 7 oiseaux sur les branches du haut et 5 sur les branches du bas.

Autres classes :               

« Si je viens te rejoindre nous serons autant en haut et en bas » : il y a 2 oiseaux de plus en haut.

« Si c’est toi qui viens alors nous serons deux fois plus nombreux qu’en bas » : il y a au moins 2 oiseaux en bas.

Donc, il y a au moins 4 oiseaux en haut.

On peut alors procéder par essais successifs :

bas 2 3 4 5 6 7 8 ...
haut 4 5 6 7 8 9 10 ...
bas - 1 1 2 3 4 5 6 7 ...
haut + 1 5 6 7 8 9 10 11 ...
haut - 1 3 4 5 6 7 8 9 ...
bas + 1 3 4 5 6 7 8 9 ...


On constate que 5 et 7 répond au problème. Mais on ne sait pas si la solution est unique...

L'élève qui procède par essais ne trouve qu'une condition suffisante alors que l'élève de 3ème qui résout le système ci-dessus trouve en 5 et 7 une condition nécessaire s'il ne vérifie pas la solution dans les deux équations. Avant la classe de 3ème, un élève est en droit de penser qu'il pourrait exister, au delà de 5 et 7, une autre solution.


© Serge Mehl - www.chronomath.com