ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Système linéaire et matrice inverse     niveau Bac+1, BTS      
       cas 4 × 4 et matrice non inversible

1°/ On considère la matrice :

Calculer A2 puis B = 4A - A2 et le produit AB. En déduire A-1.

2°/ Résoudre par un calcul matriciel utilisant le calcul précédent de A-1, le système d'équations linéaires :

3°/ Reprendre la résolution du système par un calcul direct de A-1.

On pourra aussi résoudre ce système par la méthode de Cramer.

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°/ On a :

Par conséquent si I désigne la matrice unité, on a AB = 10 x I, donc :

2°/

Ce qui fournit : x = -2 , y = 0 et z = 1.

3°/ On calcule tout d'abord le déterminant de A (règle de Sarrus pour l'ordre 3) :

On remplace maintenant chaque terme aij de la matrice par son mineur en le multipliant par (-1)i+j; on obtient :

On transpose (colonne i devient ligne i) et on divise par le déterminant; on retrouve :


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