ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Caustique par réflexion

Avez-vous remarqué au fond de votre tasse de café la jolie courbe qui se forme à la surface, d'autant plus visible que la lumière est rasante ? Après avoir lu l'étude ci-dessous, vous ne pourrez plus préparer votre petit déjeuner sans penser à l'épicycloïde, appelée aussi dans ce cas précis caustique  d'un cercle par réflexion (du grec kausticos = brûlant).

La tasse nécessaire à notre étude sera de forme cylindrique. Un rayon de lumière zM, supposé rasant la surface du liquide ou le fond de la tasse, tombe sur la paroi interne et est réfléchi suivant Mz'.

Le rayon lumineux zM se réfléchit en Mz' en suivant la loi bien connue de la réflexion : on trace la normale (d) en M à la circonférence (perpendiculaire à la tangente, en pointillé sur la figure) : on obtient alors l'angle d'incidence ^(zM,d) = α (exprimé en radians). L'angle de réflexion étant égal à l'angle d'incidence, on repart en Mz' de sorte que (d) est bissectrice de l'angle ^zMz'. L'angle α peut varier de 0 (le rayon tombe en B et est réfléchi sur lui-même) à π/2 (le rayon tombe en A et continue sa route...).

Le tracé de quelques rayons explique en partie l'allure de la courbe. Voici ce que fournit un ordinateur à qui l'on a fourni l'équation des rayons réfléchis que nous allons déterminer ci-après :


On remarque la concentration des droites vers le bord de la courbe et surtout à la pointe centrale
ce qui correspond à une concentration de lumière que l'on observe effectivement

Étude de la courbe :


 

Définissons un repère orthonormé direct (Ox,Oy) comme indiqué (cf. ci-dessus). La courbe cherchée admet manifestement (Ox) comme axe de symétrie. On peut se contenter d'étudier le phénomène dans le quadrant (AOB) et compléter par symétrie.

 La normale en un point d'une circonférence passe par le centre de celle-ci, l'origine en l'occurrence. Par conséquent, en notant R le rayon de la tasse, on montrera facilement que :

Ainsi, notre caustique est l'enveloppe de toutes les droites (Mz') lorsque α varie de -π/2 à +π/2. Son équation est obtenue en dérivant (1) par rapport à α. Le système (s) obtenu :

x.sin 2α - y.cos 2α = R.sin α
2x.cos 2α + 2y.sin 2α = R.cos α

fournit facilement une équation paramétrique x = f(α) , y = g(α) de la caustique :

4x = R(3.cos α - cos 3α) , 4y = R(3.sin α - sin 3α) , α [-π/2 à +π/2]

Une étude de x = f(α) et y = g(α) avec R = 4 conduit à la courbe ci-dessous, en bleu foncé, restreinte à la partie x ≥ 0. On a tracé en bleu clair le cercle de centre O de rayon 4. Complétée par symétrie par rapport à (Ox) et (Oy), la caustique est une épicycloïde, plus précisément une néphroïde possédant deux points de rebroussement en (±2,0).

Pour l'étude de cette courbe, noter que x est une fonction paire de α et que y une fonction impaire : on peut donc se restreindre à l'intervalle [0,+π/2]. x' = f'(α) = 6sinα(1 - 2sin2α) s'annule alors en 0 et +π/4 et x croît ainsi de 2 à 2√2 puis décroît jusqu'à 0. Dans ce même intervalle, y' = g'(α) = 12cosα(1 - cos2α) ≥ 0 : y croît de 0 à 4. En α = 0 et α = π/2, y' = 0, x'≠ 0 : tangente horizontale. En α = π/4, x' = 0, y'≠ 0 : tangente verticale.

   La néphroïde en tant  qu'enveloppe des droites (Mz') générée par Cabrijava :


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