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La néphroïde en tant qu'enveloppe de cercles     animation      
   
Néphroïde en tant qu'épicycloïde

La néphroïde (étymologiquement : en forme de rein) est une épicycloïde. On peut aussi la générer de la façon suivante :

Soit un repère orthonormé (Ox,Oy). Le cercle (c) de diamètre [AB], de centre O, de rayon R est fixe. On considère les cercles centrés en M sur (c) et tangents à (AB). L'enveloppe de cette famille de cercles lorsque M décrit (c) est une néphroïde.


 Pour obtenir l'enveloppe, déplacer M sur le cercle bleu.

Étude :    

1. On pose t = ^(OB,OM). Par des considérations trigonométriques élémentaires dans le triangle OMH, montrer que l'équation du cercle mobile est :

(x - R.cost)2 + (y - R.sint)2 = R2.sin2t.

2. On pose, pour simplifier : X = x - R.cost et Y = y - R.sint. Montrer que l'équation de l'enveloppe sera donnée par le système :

X2 + Y2 = R2.sin2t
XX' + YY' = R
2.sint.cost

où X' et Y' désignent les dérivées de X et Y par rapport à t.

3. Calculez Y en fonction de X et de t; en déduire :

X = 2R.cost.sin2t   puis Y = R.sint(2sin2t - 1).

4. Vérifier maintenant que x = R(3cost - 2cos3t)  et   y = 2R.sin3t et, en utilisant les formules de linéarisation sin3a = ¼(3sin a - sin 3a) et cos3a = ¼(cos 3a + 3cos a), montrer que :

x = ½R(3cost - cos3t) y = ½R(3sint - sin3t)

C'est l'équation d'une néphroïde.  


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