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La néphroïde en tant qu'enveloppe de cercles          » Néphroïde en tant qu'épicycloïde

La néphroïde (étymologiquement : en forme de rein) est une épicycloïde. On peut aussi la générer de la façon suivante :

• Soit un repère orthonormé (Ox,Oy).

• Le cercle (c) de diamètre [AB], de centre O, de rayon R est fixe.

• On considère les cercles centrés en M sur (c) et tangents à (AB).

• L'enveloppe de cette famille de cercles lorsque M décrit (c) est une néphroïde.

La néphroïde est générée ci-dessous au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Pour obtenir l'enveloppe, déplacer M sur le cercle bleu

Étude :    

1. On pose t = ^(OB,OM). Par des considérations trigonométriques élémentaires dans le triangle OMH, montrer que l'équation du cercle mobile est :

(x - R.cost)² + (y - R.sint)² = R².sin²t.

2. On pose, pour simplifier : X = x - R.cost et Y = y - R.sint. Montrer que l'équation de l'enveloppe sera donnée par le système :

où X' et Y' désignent les dérivées de X et Y par rapport à t.

3. Calculez Y en fonction de X et de t; en déduire :

X = 2R.cost.sin²t   puis Y = R.sint(2sin²t - 1).

4. Vérifier maintenant que x = R(3cost - 2cos³t)  et   y = 2R.sin³t et, en utilisant les formules de linéarisation sin³a = ¼(3sin a - sin 3a) et cos³a = ¼(cos 3a + 3cos a), montrer que :

x = ½R(3cost - cos3t) y = ½R(3sint - sin3t)

C'est l'équation d'une néphroïde.