ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Développée de la néphroïde         » Cas du deltoïde | Cas de l'astroïde | Épicycloïde | Autres cas

Rappelons que la développée d'une courbe (C) est la courbe enveloppe des normales de (C). En bleu, ci-dessous, est tracée la néphroïde d'équation :

Sa développée, générée par ses normales, que l'on peut observer en blanc au centre de l'image, est aussi une néphroïde dont l'équation peut ici s'écrire :

Eu égard aux formules cos3t = 4cos³t - 3cos t et sin3t = 3sin t - 4sin³t, on peut remarquer que x = 2cos³t mais que l'écriture de y ne se simplifie pas. La recherche de cette équation est relativement simple si l'on se réfère à la page consacrée à l'équation générale de la développée d'une courbe :

On a ici :

• X = x - n²y'/d  et  Y = y + n²x'/d;

• d = x'y" - x"y' = 36(1 - cos2t);

• n² = x'² + y'² = 18(1 - cos2t).

On a donc n²/d = 1/2, ce qui nous conduit facilement à X = x - y'/2 = (3cos t + cos3t)/2  et  Y = y + x'/2 = (3sin t + sin3t)/2.

On peut conjecturer graphiquement qu'il existe entre la néphroïde et sa développée une transformation géométrique simple : rotation d'angle π/2 sans doute suivie d'une homothétie de rapport 1/2. Pour vérifier cela, il suffit, de s'assurer que la courbe d'équation

X = 3cos t + cos3t  et  Y = 3sin t + sin3t

est l'image de notre néphroïde par rotation d'angle pi/2.

L'expression analytique d'une rotation de centre O, d'angle π/2, est donnée par la relation matricielle :

• X = -3sin(T - π/2) + sin(3T - 3π/2) = 3cos t - sin(3T - π/2) = 3cost + cos3t

• Y = 3cos (T - π/2) - cos(3T - 3π/2) = 3sin t + cos(3T - π/2) = 3sin t + sin3t