ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Développée de la néphroïde       
   
cas du deltoïde , cas de l'astroïde , autres cas

Rappelons que la développée d'une courbe (C) est la courbe enveloppe des normales de (C). En bleu, ci-dessous, est tracée la néphroïde d'équation :

x = 3cost - cos3t , y = 3sint - sin3t

Sa développée, que l'on peut observer au centre de l'image, est aussi une néphroïde dont l'équation peut ici s'écrire :

x = ½(3cos t + cos3t)  , y = ½(3sint + sin3t)

Eu égard aux formules cos3t = 4cos3t - 3cos t et sin3t = 3sin t - 4sin3t, on peut remarquer que x = 2cos3t mais que l'écriture de y ne se simplifie pas.

La recherche de cette équation est relativement simple si l'on se réfère à la page consacrée à l'équation générale de la développée d'une courbe :

On a ici :

On a donc n2/d = 1/2, ce qui nous conduit facilement à X = x - y'/2 = (3cos t + cos3t)/2  et  Y = y + x'/2 = (3sin t + sin3t)/2.

On peut conjecturer graphiquement qu'il existe entre la néphroïde et sa développée une transformation géométrique simple : rotation d'angle π/2 sans doute suivie d'une homothétie de rapport 1/2. Pour vérifier cela, il suffit, de s'assurer que la courbe d'équation

X = 3cos t + cos3t  et  Y = 3sin t + sin3t

est l'image de notre néphroïde par rotation d'angle pi/2.

L'expression analytique d'une rotation de centre O, d'angle π/2, est donnée par la relation matricielle :

C'est dire que X = -y  et Y = x. Ce qui fournit X = -3sin t + sin3t  et  Y = 3cos t - cos3t. Nous pouvons effectuer le changement de variable t = T - π/2 :

C'est bien l'équation recherchée.

Génération de la développée de la néphroïde : pour effacer / relancer le lieu double-cliquer / cliquer dans la figure


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