ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

L'hypocycloïde, ou hypotrochoïde, est le lieu géométrique d'un point M d'un cercle (c) de rayon r roulant sans glisser sur un cercle (C) de rayon R > r à l'intérieur de celui-ci. Pour un roulement extérieur, on parle d'épicycloïde.

• Le cas R = 3r : hypocycloïde appelée deltoïde (qui ressemble à un delta), dite aussi hypocycloïde de Steiner, admettant trois points de rebroussement (le point courant rebrousse chemin en A, A' et A").
  
  C'est une courbe tricuspide (du grec et latin tri, préfixe signifiant trois et cuspis = pointe). Son équation est :

  x = 2cos t + cos 2t , y = 2sin t - sin 2t    (avec r = 1, R= 3)

                     
 

  Étude géométrique du deltoïde et animation : »           Deltoïdodographe sur YouTube : »

• Si R = 2r, le point M décrit un diamètre du cercle (C) :

 Mouche de La Hire : »          Équation générale des hypocycloïdes : »

L'astroïde est une hypocycloïde (cf. ci-dessus) : elle s'obtient comme lieu d'un point M d'un cercle de rayon r roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon R = 4r.

Son équation est alors :

L'astroïde est une courbe de Lamé. Elle possède quatre points de rebroussements (courbe quadricuspide ou tétracuspide) et quatre axes de symétrie. Elle peut être obtenue en tant qu'enveloppe d'un segment dont les extrémités glissent sur les axes de coordonnées :