ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Étude de la fonction f(x) = x - 2x-1                Niveau TerS

On pose :

f(x) = x - 2x-1

1°. Justifier brièvement que f est continue et dérivable sur R tout entier et vérifier que sa dérivée peut s'écrire (ln désigne le logarithme népérien) :

f '(x) = 1 - ln2 e(x-1)ln2

2°. Résoudre l'inéquation : x R, f '(x) < 0. En déduire le sens de variation de f.

3°. Étudier les limites à l'infini de f. Justifier l'existence d'une asymptote oblique en -∞.

4°. Représenter les variations de f.
     Vérifier par le calcul que f(1) = f(2) = 0 et que l'équation f(x) = 0 ne possède que ces deux solutions 1 et 2.

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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution succincte :

1°. Indication : noter que ln(2x-1) = (x - 1)ln2. Donc f(x) = x - e(x-1)ln2. La dérivation de f s'obtient facilement eu égard à la formule (eu(x))' = u'(x)eu(x).

2°. L'inéquation f '(x) < 0 conduit à e(x-1)ln2 > 1/ln2. On passe aux log : (x - 1)ln2 > ln(1/ln2), d'où x > 1 - ln(ln2)/ln2, soit, sensiblement (pour le graphique), x > 1,53. Maximum absolu en ce point ( 0,086) avec tangente horizontale pour la courbe représentative.

3°. Au voisinage de +∞, 2x/x tend vers +∞ (exponentielle de base 2 > 1). On peut écrire

f(x) = x(1 - ½ x 2x/x)

Donc f tend vers -∞ ainsi que f(x)/x : branche parabolique de direction Oy.

Au voisinage de -∞, 2x tend vers 0. Il en est donc de même de 2x-1 × 2x. Par conséquent f(x) - x tend vers 0 : f tend vers -∞ avec x et la courbe représentative admet la droite d'équation y = -x comme asymptote.

4°.  f(1) = 1 - 20 = 1 - 1 = 0; f(2) = 2 - 21 = 2 - 2 = 0. si α désigne l'unique zéro de sa dérivée découvert en 2° (α 1,53). La fonction f, continue et strictement croissante sur ]-∞,α[, prend la valeur 0 en x = 1. Elle ne peut s'annuler une seconde fois sur cet intervalle. Raisonnement analogue sur  ]α, +∞[.


 


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