ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Théorème de Rouché-Fontené       » exemple d'application

Considérons et appelons (s) le système n x p de n équations linéaires à p inconnues x1, x2,…,xp :

a1,1x1 + a1,2x2 + … + a1,pxp = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + … + a2,pxp = b2

...
a
n,1x1 + an,2x2 + … + an,pxp = bn

où les ai,j et les bi sont des réels donnés, 1 ≤ i ≤ n, et 1 ≤ j ≤ p.

Définition et lemme pratique :  

Soit Dr un déterminant d'ordre r non nul extrait de A; le rang de A est alors au moins égal à r.

On appelle déterminant bordant de Dr, ou tout simplement bordant de Dr, tout déterminant d'ordre r + 1 extrait de A dont Dr est un déterminant extrait. Il y a (n - r)(n - p) bordants.

La matrice A sera de rang r si et seulement si tous les bordants de Dr sont nuls.

Un exemple :

 

Le déterminant de A est nul; sans le calculer, on peut s'en persuader en remarquant par exemple que la seconde ligne est le quart de la somme des 1ère et 4ème ligne : L1 = ¼(L1 + L4).

 i   Plutôt que celle des lignes, on peut aussi constater la non indépendance des colonnes  : par exemple C4 = 2C1 - C2.

 Le déterminant  étant clairement non nul, A est de rang 2 ou 3. 

Les quatre bordants de ce déterminant sont :

 

Et on peut vérifier qu'ils sont tous nuls : A est donc de rang 2.

Revenons à notre système (s) :  

   ,  i = r + 1, r + 2, ..., n

Si n = p, la matrice A est carrée et selon un résultat de Gabriel Cramer, le système admet une unique solution si le déterminant de A, déterminant du système, est non nul. Dans les autres cas, nous avons ce résultat fort utile dans la pratique :

Théorème de Rouché-Fontené :    


 
Résolution d'un système de 4 équations à 3 inconnues

Considérons le système de 4 × 3 (4 équations à 3 inconnues) défini par :

    La matrice du système est :  

Son rang est 2 : on peut le calculer en étudiant les déterminants extraits d'ordre 3 (ils sont tous nuls) ou en constatant que la troisième colonne est le double de la seconde diminué de la première. On peut choisir comme équations (resp. inconnues) principales les deux premières équations (resp. x et y) puisque ces équations ne sont pas proportionnelles :

= - 1 ≠ 0

Le système aura des solutions si et seulement si les deux bordants :

sont nuls, c'est à dire si et seulement si : 3k + m = 8  et  k = 0, soit finalement si et seulement si k = 0 et m = 8. Le système se réduit alors à : x + 2y = - 3z  et  x + y = 1 - z. En conclusion :

si k = 0 et m = 8, z est arbitraire, x = z + 2, y = -2z - 1, sinon pas de solution.


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