ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Théorème de Rouché-Fontené       exemple d'application

Considérons et appelons (s) le système n x p de n équations linéaires à p inconnues x1, x2,…,xp :

a1,1x1 + a1,2x2 + … + a1,pxp = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + … + a2,pxp = b2

...
a
n,1x1 + an,2x2 + … + an,pxp = bn

où les ai,j et les bi sont des réels donnés, 1 i n, et 1 j p.

Définition et lemme pratique :  

Soit Dr un déterminant d'ordre r non nul extrait de A; le rang de A est alors au moins égal à r. On appelle déterminant bordant de Dr, ou tout simplement bordant de Dr, tout déterminant d'ordre r + 1 extrait de A dont Dr est un déterminant extrait. Il y a (n - r)(n - p) bordants.

La matrice A sera de rang r si et seulement si tous les bordants de Dr sont nuls.

 

Le déterminant de A est nul; sans le calculer, on peut s'en persuader en remarquant par exemple que la seconde ligne est le quart de la somme des 1ère et 4ème ligne. On peut aussi étudier l'indépendance des colonnes plutôt que celle des lignes : par exemple,  la 4ème colonne s'obtient en soustrayant le double de la 1ère à la seconde.

 Le déterminant  étant clairement non nul, A est de rang 2 ou 3. 

Or, les 4 bordants de ce déterminant, à savoir : , sont nuls. Par suite, A est de rang 2.

Revenons à notre système (s) :  

   ,  i = r + 1, r + 2, ..., n

Si n = p, la matrice A est carrée et le système admet une unique solution si le déterminant de A, déterminant du système, est non nul : système de Cramer. Dans les autres cas, le théorème de Rouché-Fontené exprime que :


 Résolution d'un système de 4 équations à 3 inconnues

Considérons le système de 4 x 3 (4 équations à 3 inconnues) défini par :

    La matrice du système est :  

Son rang est 2 : on peut le calculer en étudiant les déterminants extraits d'ordre 3 (ils sont tous nuls) ou en constatant que la troisième colonne est le double de la seconde diminué de la première. On peut choisir comme équations (resp. inconnues) principales les deux premières équations (resp. x et y) puisque ces équations ne sont pas proportionnelles :

Le système aura des solutions si et seulement si les deux bordants :  sont nuls, c'est à dire si et seulement si : 3k + m = 8  et  k = 0, soit finalement si et seulement si k = 0 et m = 8. Le système se réduit alors à : x + 2y = - 3z  et  x + y = 1 - z. En conclusion :

si k = 0 et m = 8, z est arbitraire, x = z + 2, y = -2z - 1, sinon pas de solution.


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