ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Courbe (ou roulette) de Delaunay       
   
trochoïdes , chaînette parabolique et chaînette hyperbolique

A l'instar de la célèbre roulette de Pascal (cycloïde) , Delaunay s'intéressa au lieu d'un foyer d'une ellipse "roulant" sans glisser sur une droite.

L'ellipse de foyers F et F' est définie par MF + MF' = 2a. Elle roule sur (Ox) qui lui est tangent en M. H et K sont les projections orthogonales de F et F' sur (Ox). On appelle b le demi petit axe de l'ellipse; on pose FF' = 2c. Rappelons que a2 = b2 + c2.

Intéressons-nous au lieu géométrique (r) de F(x;y) :

En notant α = ^HFM et sachant que la normale en M est bissectrice de ^FMF', on a aussi ^MF'K = α et la relation MF' + MF = 2a peut s'écrire : MF.cos α + MF'.cos α = 2a.cos α, c'est à dire :

HF + KF' = 2a.cos α

Mais on sait, ou l'on apprendra, que :

le produit des distances des foyers d'une ellipse à une tangente quelconque est constant
et égal au carré du demi petit axe

Par suite HF x KF' = b2 et en remarquant que HF = y, on obtient :

y + b2/y = 2a.cos α        (1)

On peut éliminer α en remarquant qu'à chaque instant, M est le centre instantané de rotation du foyer F :  par conséquent (FM) n'est autre que la normale à (r) au point F. Traçons (FT) perpendiculaire à (FM) en F : (FT) est la tangente à (r) au point F et ^FTM = ^HFM = α (angles à côtés perpendiculaires). C'est dire finalement que tan α = y' = dy/dx : coefficient directeur de la tangente en F.

T n'est généralement pas situé sur l'axe focal (T n'est pas aligné avec F et F') même si la figure ci-dessus peut suggérer un tel état des choses...

 La courbe (r) vérifie alors l'équation différentielle :

Lorsque l'ellipse a fait un "demi-tour", F prend la place de de F'. Depuis sa position initiale, F a vu son ordonnée croître de a - c à a + c. On a alors y 0 (et y' 0) et la portion de courbe correspondante vérifie l'équation différentielle :

    (e)

On peut vérifier que y' = 0 correspond à y = a ± c : tangentes horizontales en ces points. La courbe a l'allure indiquée ci-dessus et se répète bien sûr périodiquement. Quant à (e) sa résolution n'est pas triviale...


la courbe intégrale passant par (0;a - c) dans le cas a = 4 et b = 3        logiciel

Un lien intéressant entre chaînette et parabole :    

 le foyer d'une parabole qui "roule" sans glisser sur une droite décrit une chaînette

Reprenant à partir de l'équation (1) de cette étude, faisons tendre a vers l'infini de sorte que b/a tende vers 0 mais b2/2a ait une limite finie k non nulle. L'excentricité de l'ellipse est e = c/a = (1 - b2/a2) 1 :  notre ellipse tend vers une parabole. En divisant par a et en passant à la limite,  l'équation (1) s'écrit :

      (2)

Or, l'équation de la chaînette y = k(ex/k + e-x/k) est solution de l'équation différentielle :

et on vérifie que y" = y/k2. C'est dire que la chaînette y = k(ex/k + e-x/k) vérifie l'équation (2).

La chaînette "standard" peut ainsi être qualifiée de chaînette parabolique; la courbe de Delaunay est alors une chaînette elliptique. Notons enfin que l'on pourrait tout aussi bien étudier la chaînette hyperbolique en remplaçant l'ellipse par une hyperbole, ce qui revient à changer b2 en -b2 dans l'équation  différentielle (e) ci-dessus.

Coniques :
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