ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Courbe (ou
roulette) de Delaunay
» trochoïdes , chaînette parabolique et chaînette hyperbolique |
A l'instar de la célèbre roulette de Pascal (cycloïde) , Delaunay s'intéressa au lieu d'un foyer d'une ellipse "roulant" sans glisser sur une droite.
L'ellipse de foyers F et F' est définie par MF + MF' = 2a. Elle roule sur (Ox) qui lui est tangent en M. H et K sont les projections orthogonales de F et F' sur (Ox). On appelle b le demi petit axe de l'ellipse; on pose FF' = 2c. Rappelons que a2 = b2 + c2.
Intéressons-nous au lieu géométrique (r) de F(x;y) :
En notant α = ^HFM et sachant que la normale en M est bissectrice de ^FMF', on a aussi ^MF'K = α et la relation MF' + MF = 2a peut s'écrire : MF.cos α + MF'.cos α = 2a.cos α, c'est à dire :
Mais on sait, ou l'on apprendra, que :
le produit des distances des foyers
d'une ellipse à une tangente quelconque est constant
et égal au carré du demi
petit axe
Par suite HF x KF' = b2 et en remarquant que HF = y, on obtient :
On peut éliminer α en remarquant qu'à chaque instant, M est le centre instantané de rotation du foyer F : par conséquent (FM) n'est autre que la normale à (r) au point F. Traçons (FT) perpendiculaire à (FM) en F : (FT) est la tangente à (r) au point F et ^FTM = ^HFM = α (angles à côtés perpendiculaires). C'est dire finalement que tan α = y' = dy/dx : coefficient directeur de la tangente en F.
! T n'est généralement pas situé sur l'axe focal (T n'est pas aligné avec F et F') même si la figure ci-dessus peut suggérer un tel état des choses...
La courbe (r) vérifie alors l'équation différentielle :
Lorsque l'ellipse a fait un "demi-tour", F prend la place de de F'. Depuis sa position initiale, F a vu son ordonnée croître de a - c à a + c. On a alors y ≥ 0 (et y' ≥ 0) et la portion de courbe correspondante vérifie l'équation différentielle :
(e)On peut vérifier que y' = 0 correspond à y = a ± c : tangentes horizontales en ces points. La courbe a l'allure indiquée ci-dessus et se répète bien sûr périodiquement. Quant à (e) sa résolution n'est pas triviale...
la courbe intégrale passant par (0;a - c) dans le cas a
= 4 et b = 3
»
logiciel
Un lien intéressant entre chaînette et parabole :
le foyer d'une parabole qui "roule" sans glisser sur une droite décrit une chaînette
Reprenant à partir de l'équation (1) de cette étude, faisons tendre a vers l'infini de sorte que b/a tende vers 0 mais b2/2a ait une limite finie k non nulle. L'excentricité de l'ellipse est e = c/a = √(1 - b2/a2) → 1 : notre ellipse tend vers une parabole. En divisant par a et en passant à la limite, l'équation (1) s'écrit :
(2)
Or, l'équation de la chaînette y = k(ex/k + e-x/k) est solution de l'équation différentielle :
et on vérifie que y" = y/k2. C'est dire que la chaînette y = k(ex/k + e-x/k) vérifie l'équation (2).
La chaînette "standard" peut ainsi être qualifiée de chaînette parabolique; la courbe de Delaunay est alors une chaînette elliptique. Notons enfin que l'on pourrait tout aussi bien étudier la chaînette hyperbolique en remplaçant l'ellipse par une hyperbole, ce qui revient à changer b2 en -b2 dans l'équation différentielle (e) ci-dessus.