ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Exhaustion selon l'Encyclopédie de Diderot et d'Alembert

 Texte original. Seuls sont modifiés la mise en page, quelques tournures et aspects orthographiques ou grammaticaux Les mots ou les commentaires en vert sont ajoutés pour une meilleure compréhension.

La méthode d'exhaustion est une manière de prouver l'égalité de deux grandeurs, en faisant voir que leur différence est plus petite qu'aucune grandeur assignable (à laquelle on peut attribuer une valeur) et en employant, pour le démontrer, la réduction à l'absurde (raisonnement par l'absurde : Aristote).

Ce n'est pourtant pas parce que l'on y réduit à l'absurde, que l'on a donné à cette méthode le nom de méthode d'exhaustion : mais comme l'on s'en sert pour démontrer qu'il existe un rapport d'égalité entre deux grandeurs, lorsqu'on ne peut pas le prouver directement, on se restreint à faire voir qu'en supposant l'une plus grande ou plus petite que l'autre, on tombe dans une absurdité évidente.

Afin d'y parvenir, on permet à ceux qui nient l'égalité supposée, de déterminer une différence à volonté et on leur démontre que la différence qui existerait entre ces grandeurs (en cas qu'il y en eût) serait plus petite que la différence assignée et qu'ainsi cette différence ayant pu être supposée d'une petitesse qui, pour ainsi dire, épuisât toute grandeur assignable, c'est une nécessité de convenir que la différence entre ces grandeurs s'évanouit véritablement. Or c'est cette petitesse indicible, inassignable et qui épuise toute grandeur quelconque, qui a fait donner à la méthode présente le nom de méthode d'exhaustion, du mot latin exhaustio, épuisement.

La méthode d'exhaustion est fort en usage chez les anciens géomètres, comme Euclide, Archimède, etc. Elle est fondée sur ce théorème du dixième livre d'Euclide, que des quantités sont égales lorsque leur différence est plus petite qu'aucune grandeur assignable car si elles étaient inégales, leur différence pourrait être assignée ce qui est contre (contraire à) l'hypothèse.

C'est d'après ce principe qu'on démontre que, si un polygone régulier d'une infinité de côtés est inscrit ou circonscrit à un cercle, l'espace qui constitue la différence entre le cercle et le polygone s'épuisera et diminuera par degrés, de sorte que le cercle deviendra égal au polygone.

Le calcul différentiel n'est autre chose que la méthode d'exhaustion des anciens, réduite à une analyse simple et commode; c'est la méthode de déterminer analytiquement les limites des rapports.

Jean le Rond d'Alembert

Méthode d'xhaustion dans ChronoMath :


© Serge Mehl - www.chronomath.com