ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Rebroussement, inflexion, point double
d'une courbe paramétrée
Point double
| point d'inflexion |
cas implicite f(x,y) = 0
|
point d'inflexion du cas y =
f(x) |
Nombreux exemples illustrés tout au long de la page
L'étude locale d'une courbe plane en un point M(to), définie par une représentation paramétrique de la forme M(t) = (x(t),y(t)), conduit à quelques difficultés si dM/dt s'annule en to, c'est à dire lorsque x'(t) et y'(t) s'annulent simultanément. Le vecteur tangent en M semble indéfini.
En effet, on sait que
l'équation de la tangente en un point M(xo,yo)
pour une fonction y = f(x) est : y - yo
= 
(xo)
(x
- xo) où
désigne la fonction dérivée de f. Dans le cas paramétré, on a :
(xo)
= dyo/dxo =
y'(to).dt/x(to).dt
= y'(to)/x'(to)
: forme 0/0 !
Ce cas correspond mécaniquement à l'annulation de la vitesse du point courant. On parle de point stationnaire. Sinon, on parle de point ordinaire et l'équation de la tangente peut s'écrire :
(y - yo)x'(to)
= y'(to)(x
- xo)
Cas d'une fonction de plusieurs variables :
Pour une fonction de plusieurs variables f de Rn dans Rp, on parle de point critique ou de point singulier lorsque son gradient en ce point est nul : ∂f/∂x1 = ∂f/∂x2 = ... = ∂f/∂xn = 0. Sinon, on parle là aussi de point régulier ou ordinaire.
Dans cette catégorie, on rencontre en particulier les courbes algébriques planes d'équation f(x,y) = 0 et les surfaces algébriques f(x,y,z) = 0. Dans le cas des courbes planes l'annulation du gradient annonce généralement un point double.
Formule de Taylor d'une fonction de plusieurs variables , Extremums et déterminant de Hesse
Whitney
Équation de la tangente en un point d'une courbe algébrique f(x,y) = 0 :
Dans le cas paramétré qui nous occupe, il peut s'agir d'un extremum (maximum ou minimum) ou d'un point de rebroussement. Dans ce dernier cas, une étude plus approfondie peut conduire à un "simple" point d'inflexion. La recherche d'un point double, illustré par un exemple, est indiquée in fine.
Les différents types de points stationnaires :
Eu égard à la formule de Taylor, la tangente en Mo est porté par le premier vecteur dérivé p-ème non nul, noté ici Tp, de coordonnées (x(p)(to),y(p)(to)). Quatre cas sont à envisager :
Lorsque la courbe traverse sa tangente en changeant de concavité, il y a inflexion (pouvant se produire en cas de point régulier) ou bien rebroussement de première espèce (on parle aussi de point cuspidal, du latin cuspis, gén. cuspidis = pointe, corne).
La
recherche des points d'inflexion (cas singulier ou non) peut se faire de façon
relativement simple, calquée sur le cas élémentaire y = f(x). Il faut étudier
les zéros et le signe de y" = d2y/dx2.
Or dans le cas paramétré, comme dit au début de cette étude, dy/dx = y'(t)/x'(t).
Notons m(t) ce quotient.
y" = dm/dx = dm/dtdt/dx
= m'(t)/x'(t). Il s'agit donc d'étudier les zéros et le signe de :
(m')
Le cas x'(t) = 0 devra être étudié auparavant : il peut correspondre à une tangente verticale pouvant être une tangente d'inflexion.
Lorsque la courbe ne traverse pas sa tangente, on est face :
soit à un point de rebroussement de seconde espèce;
soit à un point finalement ordinaire. C'est une fausse alerte : tout se passe comme si T1 = dM/dt était non nul.
Posons alors de nouveau m(t) = y'(t)/x'(t). Ce nombre est le coefficient directeur (pente) de la tangente en Mo se présentant ici sous la forme 0/0. Exceptés certains cas élémentaires comme ci-dessous, il faudra lever l'indétermination afin d'obtenir la limite effective de m. On remarquera cependant, qu'on peut utiliser la règle de l'Hôpital : m est aussi la limite de y"/x", voire de y'''/x''' si la forme 0/0 se répète, etc. Dans tous les cas, on calculera :
m'(t) = dm/dt
indiquant le sens de variation de la pente des tangentes.
Le cas polaire r = f(t) peut être paramétré par x(t) = rcost , y(t) = rsint et on peut alors utiliser (m') ci-dessus. On pourra aussi prouver la condition nécessaire d'inflexion en un point autre que O, à savoir :
|
Rebroussement de 1ère espèce : p est pair, m' ne change pas de signe au voisinage de to : |
Un exemple
élémentaire est donné ci-dessous par : x = t2 , y =
t5 , soit y2 =
x5. On a ici p = 2 , m = y'/x' =
5t3/2 , m' = 15t2/2. Tangente horizontale
à l'origine : T2(2;0)
Un exemple plus subtil illustré
: x = 2t - 1/t2 , y = 2t + t2,
rebroussement en
(-3;-1) avec point double en (-5;1)
Deltoïde, Astroïde :
Prouver que la
courbe définie par y = | x4 - x2 | admet 2 points de rebroussement de 1ère espèce en x = ±1.
un
autre exemple en coordonnées
cartésiennes
|
Rebroussement de 2ème espèce : p pair, m' change de signe au voisinage de to : |
Dans cet exemple un peu difficile (les calculs sont
assez lourds...), le rebroussement est à l'origine.
La tangente en O(0,0) est horizontale : T2(-1;0).
La courbe admet un
point double en (1/6;1/3) : lorsque t =
π/4
(soit cos t = 1/
2)
et t = 2,0344..., soit cos t = -1/5).
Animation
:
La courbe est entièrement décrite pour t variant de 0 à π. La courbe "démarre" en (1/2;0) et décrit une cloche jusqu'en (0;0) pour t = π/2; elle "rebrousse" chemin et "monte" jusqu'en (1/2;1) pour t = 3π/4, puis "redescend" pour boucler lorsque t = π
:
|
Allure ordinaire : p impair, m' ne change pas de signe au voisinage de to |
Un exemple élémentaire est
donné par x = t3 , y = t4
(y3 = x4),
auquel cas p = 3, m = 4t/3 et m' = 4/3.
Tangente horizontale à l'origine : T3(6;0).
|
Inflexion : p impair, m' change de signe au voisinage de to |
Un exemple élémentaire est donné par : x = t5 , y = t3 (y5 = x3). On a ici p = 3, m = 0,6/t2 et m' = -1,2/t3. Tangente verticale à l'origine : T3(0;6). Il s'agit d'un point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente. Cas à rapprocher de la cubique y = x3.
|
Point doubles, points multiples : |
La courbe étant définie par x = f(t), y = g(t), il s'agit de rechercher deux valeurs u et v distinctes du paramètre t telles que f(u) = f(v) et g(u) = g(v).
Contrairement au cas implicite, courbe définie par une équation du type f(x,y) =
0, l'annulation simultanée de x'(t) et y'(t) n'est pas une condition
nécessaire à un point double : ce n'est pas un point singulier.
Si l'équation est de nature périodique T, il s'agira bien entendu de rejeter les valeurs u et v telles que u - v soit un multiple de T.
Dans le cas d'une équation rationnelle (f et g fractions rationnelles de t), on pourra systématiquement mettre u - v en facteur et simplifier le système.
On pourra aussi poser S = u + v, P = uv et simplifier encore le système en se ramenant au calcul préalable de S et P.
Application :
On considère la courbe (Γ) d'équation :
x = 2t3
+ 3t2 , y = 3t4 + 4t3.
Montrer que cette courbe
admet 2 points de rebroussement et un point double que
l'on précisera.
Cet
exemple est emprunté à Jean Taillé dans courbes et surfaces, que sais-je ?
n°564, Ed. P.U.F. - Paris, 1953
