ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Rebroussement, inflexion, point double d'une courbe paramétrée 
   
 Point double | point d'inflexion | cas implicite f(x,y) = 0 | point d'inflexion du cas y = f(x)

Nombreux exemples illustrés tout au long de la page

L'étude locale d'une courbe plane en un point M(to), définie par une représentation paramétrique de la forme M(t) = (x(t),y(t)), conduit à quelques difficultés si dM/dt s'annule en to, c'est à dire lorsque x'(t) et y'(t) s'annulent simultanément. Le vecteur tangent en M semble indéfini.

En effet, on sait que l'équation de la tangente en un point M(xo,yo) pour une fonction y = f(x) est : y - yo = (xo)(x - xo) où désigne la fonction dérivée de f. Dans le cas paramétré, on a :

(xo) = dyo/dxo = y'(to).dt/x(to).dt = y'(to)/x'(to) : forme 0/0 !

Ce cas correspond mécaniquement à l'annulation de la vitesse du point courant. On parle de point stationnaire. Sinon, on parle de point ordinaire et l'équation de la tangente peut s'écrire :

(y - yo)x'(to) = y'(to)(x - xo)

Cas d'une fonction de plusieurs variables :    

Pour une fonction de plusieurs variables f de Rn dans Rp, on parle de point critique ou de point singulier lorsque son gradient en ce point est nul : ∂f/∂x1 = ∂f/∂x2 = ... = ∂f/∂xn = 0.  Sinon, on parle là aussi de point régulier ou ordinaire.

Dans cette catégorie, on rencontre en particulier les courbes algébriques planes d'équation f(x,y) = 0 et les surfaces algébriques f(x,y,z) = 0. Dans le cas des courbes planes l'annulation du gradient annonce généralement un point double.

 Formule de Taylor d'une fonction de plusieurs variables , Extremums et déterminant de Hesse            Whitney

Équation de la tangente en un point d'une courbe algébrique f(x,y) = 0 :

Dans le cas paramétré qui nous occupe, il peut s'agir d'un extremum (maximum ou minimum) ou d'un point de rebroussement. Dans ce dernier cas, une étude plus approfondie peut conduire à un "simple" point d'inflexion. La recherche d'un point double, illustré par un exemple, est indiquée in fine.

Le cas cartésien élémentaire y = f(x) peut se paramétrer par l'artifice : x(t) = t, y(t) = f(t). Le cas polaire r = f(t) sera paramétré par x(t) = rcost , y(t) = rsint.

Avant les exemples, un peu de théorie : en fait, eu égard à la formule de Taylor, la tangente en Mo est porté par le premier vecteur dérivé p-ème non nul, noté ici Tp, de coordonnées (x(p)(to),y(p)(to)). Quatre cas sont à envisager :

 La recherche des points d'inflexion (cas singulier ou non) peut se faire de façon relativement simple, calquée sur le cas élémentaire y = f(x). Il faut étudier les zéros et le signe de y" = d2y/dx2. Or dans le cas paramétré, comme dit au début de cette étude, dy/dx = y'(t)/x'(t) = m(t). Donc y" = dm/dx = dm/dtdt/dx. Il s'agit donc d'étudier les zéros et le signe de :

Le cas x'(t) = 0 devra être étudié auparavant : il peut correspondre à une tangente verticale pouvant être une tangente d'inflexion.

Posons alors m = y'(t)/x'(t). Ce nombre est le coefficient directeur (pente) de la tangente en Mo se présentant ici sous la forme 0/0. Exceptés certains cas élémentaires comme ci-dessous, il faudra lever l'indétermination afin d'obtenir la limite effective de m. On remarquera cependant, qu'on peut utiliser la règle de l'Hôpital : m est aussi la limite de y"/x", voire de y'''/x''' si la forme 0/0 se répète, etc. Dans tous les cas, calculons :

m' = dm/dt

indiquant le sens de variation de la pente des tangentes. On reconnaît les 4 cas précédents par les critères suivants :

 Rebroussement de 1ère espèce : p est pair, m' ne change pas de signe au voisinage de to :

  Un exemple élémentaire est donné ci-dessous par : x = t2 , y = t5 , soit y2 = x5. On a ici p = 2 , m = y'/x' = 5t3/2 , m' = 15t2/2. Tangente horizontale à l'origine : T2(2;0)

                        Courbe piriforme

  Un exemple plus subtil illustré : x = 2t - 1/t2 , y = 2t + t2, rebroussement en (-3;-1) avec point double en (-5;1)

   

Deltoïde, Astroïde :

 
Prouver que la courbe définie par y = | x4 - x2 | admet 2 points de rebroussement de 1ère espèce en x = ±1.

un autre exemple en coordonnées cartésiennes

 Rebroussement de 2ème espèce : p pair, m' change de signe au voisinage de to :

  Dans cet exemple un peu difficile (les calculs sont assez lourds...), le rebroussement est à l'origine.
La tangente en O(0,0) est horizontale : T
2(-1;0).

La courbe admet un point double en (1/6;1/3) : lorsque t = π/4 (soit cos t = 1/2) et t = 2,0344..., soit cos t = -1/5).

  Animation :   

La courbe est entièrement décrite pour t variant de 0 à π. La courbe "démarre" en (1/2;0) et décrit une cloche jusqu'en (0;0) pour t = π/2; elle "rebrousse" chemin et "monte" jusqu'en (1/2;1) pour t = 3π/4, puis "redescend" pour boucler lorsque t = π :

 Allure ordinaire : p impair, m' ne change pas de signe au voisinage de to 

Un exemple élémentaire est donné par x = t3 , y = t4 (y3 = x4), auquel cas p = 3, m = 4t/3 et m' = 4/3.
Tangente horizontale à l'origine : T3(6;0).

Inflexion : p impair, m' change de signe au voisinage de to

Un exemple élémentaire est donné par : x = t5 , y = t3 (y5 = x3). On a ici p = 3, m = 0,6/t2 et m' = -1,2/t3. Tangente verticale à l'origine : T3(0;6). Il s'agit d'un point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente. Cas à rapprocher de la cubique y = x3.

Point d'inflexion, cas y = f(x)  :            Théorème de Du Gua :

Point doubles, points multiples :

La courbe étant définie par x = f(t), y = g(t),  il s'agit de rechercher deux valeurs u et v distinctes du paramètre t telles que f(u) = f(v) et g(u) = g(v).

Contrairement au cas implicite, courbe définie par une équation du type f(x,y) = 0, l'annulation simultanée de x'(t) et y'(t) n'est pas une condition nécessaire à un point double : ce n'est pas un point singulier.

Si l'équation est de nature périodique T, il s'agira bien entendu de rejeter les valeurs u et v telles que u - v soit un multiple de T.

Dans le cas d'une équation rationnelle (f et g fractions rationnelles de t), on pourra systématiquement mettre u - v en facteur et simplifier le système.

On pourra aussi poser S = u + v, P = uv et simplifier encore le système en se ramenant au calcul préalable de S et P.

Application :     

On considère la courbe (Γ) d'équation :  x = 2t3 + 3t2 , y = 3t4 + 4t3. Montrer que cette courbe  admet 2 points de rebroussement et un point double que l'on précisera. 

 

  Cet exemple est emprunté à Jean Taillé dans courbes et surfaces, que sais-je ? n°564, Ed. P.U.F. - Paris, 1953


Points doubles d'une courbe paramétrée: x = sint.cos2t , y = cost , t est réel.


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