ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Courbe piriforme     courbe en forme de poire : du latin pirum = poire

Considérons un cercle de diamètre OA = 2a. Soit B un point de [OA]. Un point mobile P est choisi sur le cercle. La perpendiculaire à (OA) passant par B coupe (OP) en C.

La parallèle à (OA) passant par C coupe généralement le cercle en deux points H et K. Les perpendiculaires à (OA) en H et K coupent (OP) en M et N.

Lorsque P décrit le cercle, la réunion des lieux géométriques de M et N fournit la courbe rouge en forme de poire.

 en prenant comme système d'axes, le repère orthonormal d'origine O, d'axe des abscisses [OA), on remarquera qu'en posant t = ^(OA,OP), les abscisses de H et K, donc de M et N, vérifient l'équation :

(x - a)2 = a2 - b2/tan2(t)

Or, tant pour M que pour N, on a y/x = tan(t). Ce qui conduit à l'équation cartésienne de la courbe piriforme (c'est une quartique, courbe algébrique de degré 4) :

b2y2 = x3(2a - x)

La courbe sera d'autant plus allongée que OB est grand :

On peut "reparamétrer" la courbe en posant impunément x = 2acos2(t). x varie ainsi entre 0 et 2a. On a alors : b2y2 = 16a4cos6tsin2t, soit y = ± 4a2/b cos3(t) sin(t), t variant de -π/2 à +π/2. Or sur cet intervalle, sinus varie entre - 1 et 1, la courbe sera donc obtenue entièrement avec la 1ère détermination de y (signe +) :

x = 2acos2t , y = 4a2/b cos3t sin t

Une autre possibilité intéressante consiste à poser x = a(1 + sin t). Comme x doit varier de 0 et 2a puis de 2a à 0, t devra être élément de [-π/2 ; π/2] ou de [0 ; 2π]. On a alors :

b2y2 = a3(1 + sint)3(a - a sint) = a4(1 + sint)2(1-sin2t)

Ainsi, comme précédemment, on peut choisir :

x = a(1 + sin t) , y = a2/b (1 + sin t)cos t

 Ces courbes s'avèrent être un cas particulier de perles de Sluse.


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