ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Courbe piriforme
»
courbe en forme de
poire : du latin
pirum =
poire |
Considérons un cercle de diamètre OA = 2a. Soit B un point de [OA]. Un point mobile P est choisi sur le cercle. La perpendiculaire à (OA) passant par B coupe (OP) en C.
La parallèle à (OA) passant par C coupe généralement le cercle en deux points H et K. Les perpendiculaires à (OA) en H et K coupent (OP) en M et N.
Lorsque P décrit le cercle, la réunion des lieux géométriques de M et N fournit la courbe rouge en forme de poire.
➔ en prenant comme système d'axes, le repère orthonormal d'origine O, d'axe des abscisses [OA), on remarquera qu'en posant t = ^(OA,OP), les abscisses de H et K, donc de M et N, vérifient l'équation :
Or, tant pour M que pour N, on a y/x = tan(t). Ce qui conduit à l'équation cartésienne de la courbe piriforme (c'est une quartique, courbe algébrique de degré 4) :
La courbe sera d'autant plus allongée que OB est grand :
On peut "reparamétrer" la courbe en posant impunément x = 2acos2(t). x varie ainsi entre 0 et 2a. On a alors : b2y2 = 16a4cos6tsin2t, soit y = ± 4a2/b cos3(t) sin(t), t variant de -π/2 à +π/2. Or sur cet intervalle, sinus varie entre - 1 et 1, la courbe sera donc obtenue entièrement avec la 1ère détermination de y (signe +) :
Une autre possibilité intéressante consiste à poser x = a(1 + sin t). Comme x doit varier de 0 et 2a puis de 2a à 0, t devra être élément de [-π/2 ; π/2] ou de [0 ; 2π]. On a alors :
Ainsi, comme précédemment, on peut choisir :
➔ Ces courbes s'avèrent être un cas particulier de perles de Sluse.