![]() ![]() valeurs propres, diagonalisation |
On appelle matrice de Markov d'ordre 2, toute matrice carrée de M2(R) à termes positifs telle que la somme des termes de chacune de ses lignes soit égale à 1. Dans toute la suite, par matrice de Markov, on sous-entend une telle matrice d'ordre 2.
1°) Montrer que toute matrice de Markov d'ordre 2 est de la forme :
où a et b désignent des nombres réels positifs ou nuls n'excédant pas 1.
2°) Montrer que le produit de deux matrices de Markov est une matrice de Markov.
3°) A quelle condition sur a et b une matrice de Markov d'ordre 2 est-elle inversible ? L'inverse d'une matrice de Markov est-elle une matrice de Markov (discuter) ?
4°) On considère la matrice de Markov M définie par a = 1/4, b = 3/4, c'est à dire :
a - Calculer les valeurs propres de M.
b - Montrer que tout matrice de Markov admet λ = 1 comme valeur propre. Exprimer la seconde valeur propre en fonction de a et b.
5°) R2 est considéré comme espace vectoriel sur R muni de sa base canonique (i, j), i = (1,0), j = (0,1). On considère l'endomorphisme de R2 admettant M comme matrice (définie en 4°).
a - Calculer les vecteurs propres u et v de M associés aux valeurs propres calculées en 4° b, u étant associé à la valeur propre 1.
b - Vérifier que (u,v) est une base de R2 et exprimer la matrice D de f dans cette base. En déduire Dn pour tout entier naturel n.
c - Exprimer Mn dans la base (i, j).
Indications et solution : |
1°) et 2°) : bien évident !
3°) Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Dans le cas d'une matrice de Markov M, on a det(M) = a - b. La condition est donc a ≠ b. Sous cette condition, on a :
La somme des lignes est bien égale à 1 mais les termes doivent être positifs.
Si a - b > 0, les termes 1 - b et a sont positifs car a et b n'excèdent pas 1, mais il nous faut aussi - b et a - 1 positifs, ce qui n'est possible que si b est nul ainsi que a - 1 : b = 0, a = 1 : on obtient la matrice unité :
Si a - b < 0, les termes 1 - b et a doivent ici être négatifs , ce qui n'est possible que si 1 - b est nul ainsi que a : b = 1, a = 0 : on obtient la matrice :
Et dans ces deux cas triviaux, on constate que M = M-1.
4°) a - On calcule P(λ) = det(M - λI), I désignant la matrice unité. Soit :
Les valeurs propres sont donc 1 et -1/2.
b - D'une façon générale P(λ) = det(M - λI) = λ2 - λ(a - b + 1) + (a - b). On remarque en effet que P(1) = 0. La seconde solution est alors a - b.
5°) a - Mu = u conduit à u(1,1) et Mv = - ½v conduit à v(1,-1); det(u,v) = -2, donc (u,v) est une base (orthogonale) de R2.
b - On exprime f(u) et f(v) dans la base (u,v) : f(u) = u(1,0), f(v) = -½v(0,-½). Donc :
C'est une matrice diagonale comme on pouvait s'y attendre.
➔ Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué :
La matrice de passage P est :
Son inverse est :
La matrice de f dans la base (u,v) est alors P-1MP, soit :
_________________________
On a alors :
c - Il nous faut calculer f n(i) et f n(j) dans la base (i,j).
f
n(u) = u
= i + j.
Par conséquent f n(i
+ j) = f n(i
) + f n(j)
= i + j.
D'autre part f
n(v) = (-½)nv
= (-½)n (i - j).
Par conséquent f n(i
- j) = f n(i
) - f n(j)
= (-½)ni - (-½)nj.
De ces calculs, on déduira aisément f n(i ) et f n(j) pour obtenir :
1. Au moyen de la matrice de passage P, on aurait obtenu le même résultat (cette fois plus rapidement...) au moyen de la formule M = PDP-1, donc Mn = PDnP-1.
2. On voit que Mn admet une limite pour n infini : » état stationnaire, ergodicité.