ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'un endomorphisme de l'espace (diagonalisation)    niveau Sup   
       outil
:
déterminant d'ordre 3

E est de dimension 3 sur R. B = (i,j,k) est une base de E et f l'endomorphisme de E dont l'expression analytique, relativement à B est :

x' = x + z , y' = y + z , z' = x + y

1°/ Écrire la matrice M de f. vous devriez trouver :

     Montrer, en calculant le déterminant de f, que cet endomorphisme est bijectif;

2°/ Montrer que l'ensemble des vecteurs invariants par f est une droite vectorielle dont on précisera un vecteur directeur u.

3°/ Montrer que l'ensemble des vecteurs changés en leur opposé par f est une droite vectorielle dont on précisera un vecteur directeur v.

4°/ Montrer que l'ensemble des vecteurs z tels que f(z) = 2z par f est une droite vectorielle dont on précisera un vecteur directeur w.

5°/ Montrer que (u,v,w) est une base de E et exprimer la matrice M' de f dans cette base; Vérifier par le calcul que det(M) = det(M').

 Cet exercice est implicitement rattaché à la notion de valeur propre d'un endomorphisme.
 

Éléments de réponse :   

Dans la base B', la matrice M est donc diagonale


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