ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Bicorne (en forme de chapeau bicorne de l'époque napoléonienne)

Cette courbe algébrique fermée du 4ème degré (quartique) est une des nombreuses courbes étudiées par G. de Lonchamps dans  son Journal de Mathématiques spéciales (Note sur le bicorne, 1897) :

Si l'on pose P(x,Y) et M(x,y), en écrivant d'une part que P décrit le cercle de centre B, de rayon a, d'autre part que la division [P,M,m1,m2] est harmonique, on obtient :

x2 + (Y - a)2 = a2  et  a/Y = (Y - 2a - y)/(Y + y)

et, par là, le système :

La division harmonique [P,M,m1,m2] permet d'écrire (en valeurs algébriques) Pm1/Pm2 = - Mm1/Mm2. Remarquer que cette relation ne fait intervenir que des ordonnées, que P et m2 ont des ordonnées opposées et que si m est le symétrique de m par rapport à Ox, on a la relation  ym + Y = 2a

On élimine maintenant Y2 au profit de Y, on reporte dans la 1ère équation et on obtient l'équation cartésienne du bicorne :

(a2 - x2)(a + y)2 - (x2 + a2 + 2ay)2 = 0

Par changement d'origine, translation de vecteur u(0,+a), le bicorne se retrouve posé sur l'axe des abscisses et son équation devient plus sympathique... :

Ci-dessus, la courbe est obtenue pour a = 2. Les points de coordonnées (±2; 0) sont des points de rebroussement de première espèce.

 Les tangentes en ces points sont perpendiculaires en le sommet de la courbe. La branche inférieure (resp. supérieure) est obtenue par le signe + (resp. signe -) devant le radical.

Le bicorne est aussi une courbe unicursale, c'est à dire représentable paramétriquement : en posant x = a.cos t, on obtiendra (relativement...) facilement :

y = a.sin2t /(2 + sin t) ou y = a.sin2t /(2 - sin t).

= génération du bicorne : déplacer P; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure =


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