ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Paradoxe de Bertrand

Considérons un cercle (c) et une corde [AB] de ce cercle tracée au hasard.
Quelle est la probabilité p que cette corde soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ?

Ce problème fut exhibé par le mathématicien français Joseph Bertrand en 1899. Il y a trois réponses possibles justes et distinctes selon la façon d'aborder le problème car ... :

Qu'est-ce que tracer une corde au hasard ?

3 cas peuvent se présenter :

♦  On choisit A et B au hasard sur (c) :

Le choix de A étant fait au hasard sur (c), B devra être choisi sur l'arc de cercle opposé sous-tendu par le côté du triangle équilatéral inscrit (figure ci-dessous). Le triangle détermine 3 arcs isométriques. D'ou la réponse :

p = 1/3.

♦  On caractérise [AB] par sa distance d au centre de (c) : 

Sur la figure de gauche correspondant au cas limite, cette distance est OC. Le rayon de (c) étant r, on a dans ce cas OC = r × sin30° = r/2 et par suite la distance au centre ne devra pas excéder r/2. Or la distance maximale d'une corde est r. D'ou la réponse :

p = (r/2)/r = 1/2

♦  On caractérise la corde par la position de son milieu :

La distance de la corde, séparant son milieu du centre du cercle, ne doit pas excéder le rayon du cercle inscrit des triangles équilatéraux inscrits dans le cercle.

Si r est le rayon de (c), celui du cercle jaune (commun à tous les triangles équilatéraux inscrits) est r/2 (calcul précédent). Le centre de la corde devra se trouver dans le cercle jaune. Par conséquent la probabilité cherchée est le rapport entre l'aire jaune et l'aire de (c). D'ou la réponse :

p = (πr²/4)/(πr²) = 1/4

Ce paradoxe montre que l'on peut manipuler, sans s'en apercevoir, plusieurs espaces probabilisables suite à un énoncé trop vague.