ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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 Cercle, parallèles et symétrie centrale...
••• niveau 2nde/1ère
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On considère deux cercles de même rayon (c) et (c') sécants en A et B.
On trace deux droites parallèles d et d' passant respectivement par A et B.
La droite d coupe (c) en M et (c') en N;
la droite d' coupe (c) en Q et (c') en P
Prouve que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme
Indication : on pourra
faire appel à une symétrie centrale judicieusement choisie...
➔ Si ton navigateur le permet, voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :
)
: Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››
| Solution : |
Plaçons le point I milieu de [AB]. Dans la symétrie de centre I :
A a pour image B;
la droite (MN) a pour image la droite passant par B qui lui est parallèle : c'est donc (PQ). Inversement, (PQ) a pour image (MN).
M appartient à (c) et à (MN), donc son symétrique appartient à (c') et (PQ) : ce ne peut être que P.
M appartient à (c) et à (MN), donc son symétrique appartient à (c') et (PQ) : ce ne peut être que P.
Q appartient à (c) et à (PQ), donc son symétrique appartient à (c') et (MN) : ce ne peut être que N.
Par conséquent, (PN) est l'image de (MQ) par la symétrie de centre I : donc (MQ) // (PN) ce qui prouve que MNPQ est un parallélogramme.
➔ Prolongements :
a/ Prouver
que AB = MQ = PN
(on montrera que MABQ est un trapèze isocèle
→ outils : angles alternes-internes,
propriété des angles d'un quadrilatère inscriptible...)