ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Calcul du nombre π selon Gregory   version tableur           version JavaScript

Le développement en série de Arctan x (Arc tangente) obtenu par le mathématicien et astronome écossais James Gregory (et, indépendamment, par Leibniz) s'écrit :

Pour x = 1, Gregory obtint π/4 ( étude de la validité de ce résultat) :

La convergence vers π = 4π/4 est en 2/n, donc très lente. On sait depuis Leibniz que le reste d'une série alternée est, en valeur absolue, inférieur au premier terme négligé. C'est dire que pour obtenir une précision de 10-5 dans le développement de π, soit π = 3,14159, il nous faudrait sommer jusqu'à n = 200 000.

Pour obtenir la précision des calculatrices de poche actuelles, soit généralement 10-10 et p = 3,1415926535, il faudrait étendre la sommation à n = 20 000 000 000 ! Soyons modestes, contentons-nous d'une précision de 10-2 :

Programme 1 :

En posant uo = 1 et un = un-1 + (-1)n/(2n + 1), on définit une suite (un) tendant vers π/4. Le programme sur tableur est très simple. En C3, La fonction LIGNE() renvoie le numéro de ligne, mais on pouvait tout aussi bien utiliser la valeur de A3 :

Accélération de la convergence :

En posant vn = 4un, compte tenu de l'alternance des signes, on obtient les valeurs de π alternativement par défaut et par excès; si on choisit pour approximation de π au rang n, la moyenne arithmétique (vn-1 + vn)/2, une approximation à 0,01 près sera assurée dès que | vn - vn-1 | = 4/(2n + 1) < 0,02, soit : n > 100. Pour n = 101, π = (vn-1 + vn)/2 = 3,1416411..., valeur de π à 0,0001 près !

  programme JavaScript on line

Programme 2 :

On utilise ici le mode itératif d'Excel : une cellule fait appel à elle-même, c'est une programmation récursive, également dite fonctionnelle car le résultat cherché apparaît dans une celle déterminée, ici C2.

Là aussi, on peut affiner le programme en choisissant comme approximation de π la moyenne arithmétique de deux valeurs consécutives. L'erreur maximale est alors divisée par 2.

Autres calculs :


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