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x désignant un nombre réel non nul, on demande d'étudier la convergence de la série numérique de terme général :
➔ Indications (à l'époque non fournie au candidat...) : vérifier que l'on peut écrire
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
Indications : |
La question n'était pas très difficile... On trouve facilement la forme demandée :
Si |x| < 1, le rapport un+1/un tend vers x car x2n et x2n + 1 tendent vers 0 : la série converge selon la règle de d'Alembert (» critères de convergence).
Si |x| >1, un+1/un tend vers x/x2 = 1/x, limite inférieure à 1 en valeur absolue : la série converge. Noter que le changement de x en 1/x laisse un invariant. Ce cas pouvait donc se déduire du précédent.
Si x = 1, un = 1/2 pour tout n; le terme général ne tend pas vers 0 : la série diverge (les sommes partielles sont Sn = n/2 : la série diverge à l'infini).
Si x = -1, on peut écrire un =
(-1)n/[(-1)2n + 1] = (-1)n/2 : le terme
général ne tend pas vers 0 : la série diverge.
! les sommes
partielles sont Sn = 1/2 - 1/2 + 1/2 - 1/2 + 1/2 - ... Il ne
s'agira pas d'affirmer que Sn = 0 ou 1/2 ou - 1/2... ou, par regroupement
illicite, 1 ou tout autre entier. On étudiera ce type de souci
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