ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une série #6     niveau Sup                » #1 , #2 , #3 , #4 , #5

x désignant un nombre réel non nul, on demande d'étudier la convergence de la série numérique de terme général :

 ➔    Indications (à l'époque non fournie au candidat...) :  vérifier que l'on peut écrire

La question n'était pas très difficile... On trouve facilement la forme demandée :

• Si |x| < 1, le rapport u_n+1/u_n tend vers x car x²ⁿ et x^{2n + 1} tendent vers 0 : la série converge selon la règle de d'Alembert (» critères de convergence).

• Si |x| >1, u_n+1/u_n tend vers x/x² = 1/x, limite inférieure à 1 en valeur absolue : la série converge. Noter que le changement de x en 1/x laisse u_n invariant. Ce cas pouvait donc se déduire du précédent.

• Si x = 1, u_n = 1/2 pour tout n; le terme général ne tend pas vers 0 : la série diverge (les sommes partielles sont S_n = n/2 : la série diverge à l'infini).

• Si x = -1, on peut écrire u_n = (-1)ⁿ/[(-1)²ⁿ + 1] = (-1)ⁿ/2 : le terme général ne tend pas vers 0 : la série diverge.
   !   les sommes partielles sont S_n = 1/2 - 1/2 + 1/2 - 1/2 + 1/2 - ... Il ne s'agira pas d'affirmer que Sn = 0 ou 1/2 ou - 1/2... ou, par regroupement illicite, 1 ou tout autre entier. On étudiera ce type de souci on this page...