ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une série #5  (oral école polytechnique mars 1914)     niveau Sup                » #1 , #2 , #3 , #4 , #6

k désignant un entier non nul donné, on considère la série numérique définie ci-dessous par ses sommes partielles :

1°/ Étudier la convergence de la série lorsque k = 1.   » critères de convergence | Riemann

2°/ On suppose désormais k > 1.

a) En utilisant un critère usuel de convergence, montrer que la série converge.

b) Décomposer le terme général u_n de la série sous la forme a/n + b/(n - 1 + k) où a et b désignent des constantes à déterminer.

c) En déduire, pour n > k, une expression de (k - 1)×S_n faisant apparaître la somme de rang n de la série harmonique.

d) En déduire la somme de la série pour tout k distinct de 1.

1°/ Lorsque k = 1, on obtient la série de terme général 1/n², cas particulier des séries de Riemann de terme général 1/n^p convergentes pour tout p > 1 : la série est donc convergente.

 ➔  La somme est ζ(2) = π²/6.  » calcul de ζ(2)

2°/ On suppose désormais k > 1 :

a) Notons u_n le terme général de la série et appliquons la règle n^αu_n (» critères de convergence) avec α = 2 : n²u_n = n/(n - 1 + k) tend vers 1 pour n infini : limite fini, la série est donc convergente pour tout k > 1.

 ➔  Noter que le cas k = 1 pouvait être appliqué à ce critère.

b)  En identifiant u_n à  la forme demandée a/n + b/(n - 1 + k), on obtient n(a + b) = 0 et a(k - 1) = 1, système en a et b équivalent à b = -a et a = 1/(k - 1), d'où :

c) Au moyen de l'expression de u_n ci-dessus, on obtient :

En regroupant les termes différemment pour n > k, on peut écrire :

Les sommes écrites en vert s'éliminent. Il reste alors dans la seconde parenthèse k - 1 termes en 1/n qui tendent chacun vers 0. Ce qui permet de conclure que la somme S de la série est le nombre :