![]() |
k désignant un entier non nul donné, on considère la série numérique définie ci-dessous par ses sommes partielles :
1°/ Étudier la convergence de la série lorsque k = 1. » critères de convergence | Riemann
2°/ On suppose désormais k > 1.
a) En utilisant un critère usuel de convergence, montrer que la série converge.
b) Décomposer le terme général un de la série sous la forme a/n + b/(n - 1 + k) où a et b désignent des constantes à déterminer.
c) En déduire, pour n > k, une expression de (k - 1)×Sn faisant apparaître la somme de rang n de la série harmonique.
d) En déduire la somme de la série pour tout k distinct de 1.
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
Solution : |
1°/ Lorsque k = 1, on obtient la série de terme général 1/n2, cas particulier des séries de Riemann de terme général 1/np convergentes pour tout p > 1 : la série est donc convergente.
➔ La somme est ζ(2) = π2/6. » calcul de ζ(2)
2°/ On suppose désormais k > 1 :
a) Notons un le terme général de la série et appliquons la règle nαun (» critères de convergence) avec α = 2 : n2un = n/(n - 1 + k) tend vers 1 pour n infini : limite fini, la série est donc convergente pour tout k > 1.
➔ Noter que le cas k = 1 pouvait être appliqué à ce critère.
b) En identifiant un à la forme demandée a/n + b/(n - 1 + k), on obtient n(a + b) = 0 et a(k - 1) = 1, système en a et b équivalent à b = -a et a = 1/(k - 1), d'où :
c) Au moyen de l'expression de un ci-dessus, on obtient :
En regroupant les termes différemment pour n > k, on peut écrire :
Les sommes écrites en vert s'éliminent. Il reste alors dans la seconde parenthèse k - 1 termes en 1/n qui tendent chacun vers 0. Ce qui permet de conclure que la somme S de la série est le nombre :