Accumulation des erreurs d'arrondi

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Accumulation des erreurs d'arrondi niveau TerS » voir aussi...
» Numération binaire, codage et arrondis , aspect mathématique de l'arrondi

Le but de cette étude est de montrer l'effet (très) néfaste des erreurs d'arrondi d'un ordinateur dans le calcul d'une intégrale somme toute relativement banale.

i Cette illustration des dangers de l'informatique dont les victimes sont d'innocents élèves de Terminale trahis par leur calculatrice, s'appuie sur l'excellent exemple de Jacques Hervé Saïac dans L'informatique appliquée au calcul scientifique, page 140, Ed. Dunod, Paris-1989.

Pour tout n de N, on considère les intégrales sur l'intervalle [1,e]:

I_n = ∫_[1,e] (ln x)ⁿ dx , ln désigne le logarithme népérien, e est leur base

a/ Prouver que la suite (I_n) est décroissante et minorée par zéro.
La suite (I_n) est donc convergente et sa limite est positive ou nulle.
b/ CalculerI_o = e - 1 et I₁= 1. Rép : I_o = e - 1 et I₁= 1
c/ Au moyen d'une intégration par parties, vérifier que I_n = e - n.I_n-1 pour tout n > 0.

» depuis 2011, l'intégration par parties a disparu du programme des classes Terminales. On peut remplacer c/ par la question équivalente suivante :

c-bis/ Calculer la fonction dérivée de x → x(ln x)ⁿ. En déduire la relation I_n = e - n.I_n-1 pour tout n > 0.

d/ Au vu de la représentation graphique de la fonction x → ln x et de sa tangente en x = e dont on calculera une équation, montrer que l'on a : 0 < ln x < x/e pour tout x > 1 .
Déduire des considérations précédentes que la limite de (I_n) est nulle et que celle de (n.I_n) est e.

Programmation de la méthode en JavaScript :

Écrivons le petit programme JavaScript fort simple ci-dessous permettant le calcul de I₂₀. Après exécution, vous devriez être étonné, voire déçu, du résultat affiché :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function Acc()
{
wdow=open("","","height=500,width=450,scrollbars=1");
wdow.document.write("<PRE>")
i=1;
for(n=2;n<=50;n++)
{
j=i;i=Math.exp(1)-n*i;wdow.document.writeln("n = "+n+" ,I(n) = "+i+" , nI(n-1) = "+n*j)
}
}</SCRIPT>

» fonctions mathématiques usuelles

On part de I = 1, c'est à dire I₁, et on calcule I_n ainsi que I_n-1 pour vérifier la stabilité des calculs. I_n-1 est récupéré dans J avant le calcul de I_n stocké dans I. Hélas, malgré ces quelques précautions, tout se gâte très vite. Le résultat est clairement aberrant dès I₁₈.

Vu que I₁ = 1, il n'y a pas d'erreur de calcul sur cette valeur. Notons I'_n la valeur machine de I_n. A chaque itération, il se greffe, pour I_n (n >1), une erreur de calcul et une erreur de stockage que nous supposons temporairement du même ordre et que nous notons ε.

Nous allons montrer que l'erreur absolue commise par l'ordinateur sur I_n est sensiblement proportionnelle à n! , où n! désigne la factorielle de n, soit : 2 × 3 × ... × n. Ce qui n'est guère encourageant.

Les facteurs d'erreurs sont :

l'erreur sur I₂qui se cumule à chaque itération;
l'erreur d'arrondi au stockage de chaque I_n;
l'erreur sur la différence e - nI_n-1 car ces nombres sont théoriquement très voisins.

➔ Dans toute la suite, la notation A = B [k] signifiera que A égale B à k près.

En tenant seulement compte de 1.et 2. ci-dessus :

I'₂ = e - 2.I'₁ = e - 2(I₁ ± ε) = I₂ [2ε]
I'₃ = e - 2.I'₂ = e - 2(I₂ ± 2ε) ± e = I₃ [5ε]
I'₄ = e - 4.I'₃ = e - 4(I₃ ± 5ε) ± e = I₄ [21ε]

Il apparaît alors que si δ_n (n > 2) est l'erreur sur I_n, alors :

I'_n = I_n [δ_n] ⇒ I'_n+1 = I_n+1 [(n + 1).δ_n + ε ]

Pour n > 2, l'erreur est multipliée par le rang et augmentée de ε à chaque itération :

δ_n+1> (n+1)δ_n

On en déduit :

δ_n > n! × δ₂/2, soit δ_n > ε × n!

Ceci est tout à fait tragique et abominable, car avec un ordinateur travaillant à 10^-16 près, on peut s'attendre au pire du côté de n = 16. De plus, du fait que nI_n tend vers e, l'ordinateur fait, à chaque itération, la différence de deux nombres "presque" égaux", donc la somme de deux nombres "presque" opposés (cf. erreur sur la somme), ce qui laisse prévoir des erreurs considérables et grandissantes dès n = 16. Ce que confirme les calculs de la machine.

On peut toutefois se sortir de ce mauvais pas, comme l'indique J.H. Saïac, de la façon suivante :

Puisque I_n= e - nI_n-1, on a aussi I_n-1 = (e - I_n)/n avec, et c'est fondamental : lim I_n= 0.
Partant de I₅₀, nous pouvons calculer I₄₉, puis I₄₈, ... jusqu'à I₂₀.
Mais que vaut I₅₀ ?
Admettons I₅₀ = 0 avec une erreur ε, de l'ordre de e/(n+1) compte tenu de l'encadrement valable pour x > 1 : 0 < ln x < x/e (ln "reste sous sa tangente" en x = 1).

Un raisonnement "inverse" analogue au précédent permet d'estimer l'erreur à :

ε / (50 × 49 × ... × 21) = e / (51 × 50 × ... × 21)

C'est dire que l'erreur sur I₂₀ sera négligeable, d'autant que cette fois, la différence

e - I_n = e + (-I_n)

n'est pas l'addition de deux nombres "presque" égaux. Cette prévision est confirmée par l'ordinateur dans le programme ci-après :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function Acc2()
{
wdow=open("","","height=480,width=480,scrollbars=1");
wdow.document.write("<PRE>")
i=0;
for(n=50;n>=1;n--)
{
i=(Math.exp(1)-i)/n;
nm1=n-1;
wdow.document.writeln("n = "+nm1+" , I(n) = "+i)
}
} </SCRIPT>

L'exécution de ce programme fournit :

I₂₀ = 0.123803830762569... avec une erreur théoriquement négligeable pour aboutir à I₂= 0,718281828459045...
c'est bien e - 2 = e - I₁ à 10^-15 près.
I₁= 1 (exactement...), I_o = 1,718281828459045... c'est bien e - 1 à 10^-15 près.

» fonctions mathématiques usuelles