ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Aire et volume de la sphère - Volume de la pyramide et du cône                 Volume de révolution | Volume d'une calotte sphérique | volume d'un segment sphérique |  notion d'aire (quadrature)

On se propose ici de calculer l'aire et le volume de la sphère par des considérations géométriques à la manière de Démocrite et d'Archimède. L'usage du calcul intégral que mettront en place Newton et Leibniz, près de 2000 ans plus tard, simplifie grandement la recherche mais n'oublions pas qu'il relève du même principe de découpage en tranches à la manière de Cavalieri !

Étape 1 : Aire de la sphère :    

On sait ou on admet ici que :

• L'aire latérale d'un cylindre, de rayon r, de hauteur h, est 2πrh
• L'aire latérale d'un cône, de rayon r, de génératrice g, est πrg.
• L'aire latérale d'un tronc de cône, de rayons r et r', de génératrice g, est π(r + r')g.

Ces premiers résultats permettent de prouver que :

• L'aire latérale engendrée par la révolution d'un segment [AB] (tronc de cône) est 2π × IJ × AB :

• Cette aire peut s'écrire 2π × HK × OI en remarquant que IJ × AB = HK × OI (évaluer les cosinus des angles de même mesure ^IAK' et ^OIJ où K' est la projection orthogonale de A sur [BK]).

• Ce résultat reste valable si A est sur l'axe de révolution ou si AB est parallèle à cet axe.

• L'aire latérale d'un contour polygonal s'obtient donc par sommation de chaque aire engendrée (figure ci-dessous à droite).

• Dans le cas où le contour polygonal est celui d'un demi polygone régulier de centre O, il apparaît alors que l'aire engendrée est 2π x OI x HK où OI désigne la longueur de l'apothème.

• Un cercle étant défini comme la limite d'un polygone régulier dont le nombre de côtés augmente indéfiniment, il suit que l'aire de la sphère de rayon r est 2π × r × 2r car OI tend vers R :

L'aire d'une sphère de rayon r est 4πr²              aire d'une zone sphérique

Étape 2 : Volume de la pyramide :   

On considère comme acquis les résultats suivants :

• Le volume d'un prisme est obtenu en multipliant son aire de base par sa hauteur.

• Deux prismes ayant même hauteur et même aire de base sont équivalents (ont même volume).

• Deux pyramides ayant même hauteur et même aire de base sont équivalentes (ont même volume).

Ce résultat, non évident, s'obtient en décomposant les pyramides au moyen de prismes et fut obtenu par Euclide en utilisant la méthode d'exhaustion (due à Eudoxe). on pourra trouver cette preuve dans HISTOIRE DE PROBLÈMES, HISTOIRES DES MATHÉMATIQUES, Commission Inter-IREM, Ed. ellipses.

Considérons alors un prisme ABCA'B'C' triangulaire non nécessairement droit (les faces sont des parallélogrammes). On constate qu'il est composé de trois pyramides triangulaires : CA'B'C', CA'AB et CA'BB'.

• CA'B'C' est équivalente à (a même volume que) A'ABC qui est égale à CA'AB : même hauteur (celle du prisme) et bases équivalentes (même aire).
   

• CA'AB est équivalente à CA'BB' car elles ont même hauteur (distance de C à sa projection sur la face ABB'A' du prisme) et bases équivalentes (A'B partage la face ABB'A' en deux triangles isométriques).

Or, toute pyramide à base polygonale quelconque est décomposable en un nombre fini de pyramides triangulaires de même hauteur. On déduit des considérations précédentes que le volume de la pyramide est :

V = B x h /3  où B désigne l'aire de la base et h la hauteur

Étape 3 : Volume du cône :    

Considérons une pyramide régulière. La base est un polygone régulier de n côtés. Lorsque n devient infini, le contour de base devient un cercle. Un cône peut ainsi être considéré comme une pyramide dont la base polygonale régulière possède un infinité de côtés. On déduit du résultat ci-dessus relatif à la pyramide que le volume du cône de révolution est :

V = πR² x h/3 où R est le rayon de la base circulaire et h la hauteur

Étape 4 : Volume engendré par un contour polygonal :    

• Le volume engendré par la rotation d'un triangle ABC autour de (AB) est :

S_BC x AH/3

où AH mesure la hauteur du triangle ABC relative à [BC] et S_BC désignant l'aire latérale du cône de génératrice BC.

• Lorsque le triangle ABC tourne autour d'un axe contenant le seul point A, on obtient par différence un résultat identique.

• Par additivité, dans le cas d'un contour polygonal comme étudié ci-dessus, en rotation autour d'un axe, le volume engendré est alors la somme des volumes engendrés par chaque segment.

• Dans le cas d'un demi-polygone régulier de centre O, il apparaît alors que le volume engendré est :

SOI/3

où S désigne l'aire latérale engendrée par la rotation du contour et OI l'apothème.

Théorèmes de Guldin :

Dernière étape, Volume de la sphère :    

Lorsque le nombre de côtés tend vers l'infini, le contour engendre une sphère d'aire S = 4πR² (comme précédemment R est la limite de OI, rayon du cercle circonscrit au polygone régulier) et par suite le volume obtenu, volume de la sphère, est 4πR² x r/3, soit :

Volume de révolution autour d'un des axes de coordonnées où l'on retrouve le volume de la sphère :

On apprend en Terminale la formule calculant un volume obtenu par révolution d'une courbe d'équation y = f(x) autour de l'axe des abscisses, formule révélée par Leibniz :

On peut tout aussi bien envisager la rotation d'un arc de courbe autour de l'axe des ordonnées, comme ci-contre pour y = x³ sur l'intervalle [0;1]; il faut alors exprimer x en fonction de y : recherche de la fonction réciproque f^-1 et procéder à l'intégration de x²dy sur un intervalle [y_min,y_max]. Ce serait, toujours pour le cas de droite, x = y.

Dans le cas de la sphère, on considère le quart de cercle centré en O, de rayon r, d'équation x² + y² = R² pour x 0. Ce qui conduit au volume de la demi-sphère :

 

D'où, pour la sphère entière :

D'une façon générale, le calcul d'un volume défini par une surface (patatoïde) dans un repère cartésien (O,x,y,z) est donné par la formule :

A(z) désignant l'aire de cote z du volume étudié.

  camion citerne , théorèmes de Guldin  

 

Calcul du volume d'une calotte sphérique au moyen du calcul intégral :

Lorsqu'un plan "coupe" une sphère, la section obtenue (intersection du plan et de la sphère) est un cercle. Si une boule remplace la sphère, on obtient un disque. Le "morceau" de sphère coloré en bleu est une calotte sphérique.

Cas particuliers : R désignant le rayon de la sphère, si OH = R, la section se réduit à un point (plan tangent) et si OH = 0, la section est un grand cercle de la sphère : on parlera de cercle équatorial.

 
Un plan coupe une sphère de rayon 7 cm à 4 cm du centre. Quel est le rayon (exact) de la section ? 
Réponse : 33 cm

Volume d'une calotte sphérique (en bleu) : si h = AB est sa "hauteur", distance entre son sommet A et le plan de section, on obtient le volume en retirant au volume de la demi-sphère calculé précédemment, à savoir :

 

l'intégrale calculée entre 0 et R - h, ce qui revient à calculer l'intégrale entre R - h et R :

fournissant :

V_cal = πh²(R - h/3) = πh²(3R - h)/3

En remarquant le lien entre R, h et le rayon de la section : R² = (R - h)² + r², soit h² + r² = 2hR, on peut obtenir deux autres écritures pour ce volume :

V = πh³/6 + ½πhR² =  ½πh(h²/3 + r²)

• si h = R, alors r = R, on retrouve le volume de la demi-sphère;
• si h = 2R, on retrouve le volume de la sphère.

 
Une sphère de pôle O, d'axe polaire (p) est coupée par un cône de révolution d'angle d'ouverture 60°,
de sommet O, d'axe (p). Quel est le volume de la sphère "prisonnier" du cône ?

 
Réponse : il s'agit du volume d'un cône augmenté de celui d'une calotte sphérique : 7πr³/12.

Calcul du volume d'un segment sphérique  :

On peut s'intéresser au cas plus général de la portion de sphère obtenue en la coupant par deux plans parallèles. En appelant h la distance entre les deux plans, r et r' les rayons des sections :

V = ½πh(r² + r'² + h²/3)            

On obtiendra ce résultat par différence des volumes entre les deux calottes de rayon r et r' (r > r')

Lorsque r' = 0, on retrouve le volume de la calotte sphérique. L'aire correspondante (zone sphérique) est :

 A = 2πRh.

Calcul d'un secteur sphérique :

 

Considérons deux points A et B de la sphère situés sur un même méridien (m), grand cercle centré en O et passant par les pôles. Lorsque le méridien (m) tourne autour de l'axe des pôles, le secteur circulaire OAB engendre un secteur sphérique. comme ci-dessus, appelons h la distance séparant les plans des cercles de section. Montrer que le volume engendré est :

 V = 2πR²h/3              
 

---

© Serge Mehl - www.chronomath.com