ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Trifolium en tant que podaire du deltoïde        animation   
 
   
Trifolium (étude polaire directe) , deltoïde

Le deltoïde a pour équation paramétrique :

x = 2cos t + cos 2t , y = 2sin t - sin 2t   (r = 1, R = 3)

Selon la théorie, l'équation de la podaire par rapport à O sera :cos(t)-

X = y' x (xy' - yx')/(x'2 + y'2) , Y = x' x (yx' - xy')/(x'2 + y'2)

ce qui conduit sans difficultés aux relations  x'2 + y'2 = 8 - 8cos 3t    et   xy' - yx' = 2 - 2cos 3t. D'où l'équation de la podaire, trifolium et sa courbe représentée ci-dessous en bleu :

X = (cost - cos2t)/2 , Y = (sint + sin2t)/2 , t variant sur [0,2π] ou [-π,+π]

  Mais le trifolium est plutôt connu par son équation polaire :

r = acos3t , t variant de 0 à π

ce qui équivaut, en coordonnées paramétriques à  :

x = acos3t.cost  et  y = acos3t.sint

Les formules de transformation de produits en sommes fournissent (avec a = 1/2) :

x = (cos4t + cos2t)/2  et  y = (sin4t - sin2t)/2

Posons t = u/2 :

x = (cos2u + cosu)/2  et  y = (sin2u - sinu)/2 , u variant sur [0,2π]

Posons u = π + T :

x = (cos2T - cosT)/2  et  y = (sin2T + sinT)/2 , T variant sur [-π,+π]

Effectuons la symétrie orthogonale d'axe Oy (cette isométrie conserve la nature de la courbe) :  on change x en - x :

x = (cosT - cos2T)/2  et  y = (sin2T + sinT)/2 , T variant sur [-π,+π]

C'est bien notre podaire.


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