Cercles sécants et alignement

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Cercles sécants et alignement niveau 3ème/Ter
Points cocycliques et angles inscrits ou angles orientés de vecteurs

On donne trois cercles (C1), (C2) et (C3) sécants deux à deux et ayant le point J en commun. Soit A, B et C les secondes intersections respectives de (C1) et (C3), (C2) et (C3), (C1) et (C2). Soit D un point de (C3). (DB) coupe (C2) en E, (EC) coupe (C1) en F. Voici la figure générée par le logiciel Cabri géomètre :

On demande de prouver que les points F, A et D sont alignés.

En classe de 3ème, on utilisera les propriétés des angles inscrits.
En Terminale S, On utilisera de préférence les angles orientés de vecteurs.

➔ Si votre navigateur le permet, voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Vous pouvez déplacer (EB) et déplacer/réduire/agrandir les cercles (C1), (C3)

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

Deux solutions :

♦ Solution élémentaire :

On peut travailler en radians ou en degrés. Restons en degrés. On utilise ici :

la notion d'angles inscrit (classe de 3ème);
que dans un quadrilatère inscrit, les angles opposés sont supplémentaires.

^EBJ + ^JBD = 180° car E, B et D sont alignés.

Comme JADB est inscrit dans (C3), on a ^JBD = 180° - ^JAD.

Dans (C2), on a ^EBJ = ^ECJ = 180° - ^FCJ. Mais dans (C1), ^FCJ = ^FAJ.

Par suite ^FAJ + ^JAD = 180°.

En d'autres termes : ^FAD = 180°, ce qui signifie que F, A et D sont alignés.

♦ Solution, plus snob (niveau Ter S), au moyen des angles orientés de vecteurs... :

Calculons l'angle orienté (AF,AD) :

(AF, AD) = (AF, AJ) + (AJ, AD)
                = (CF, CJ) + (BJ, BD)                      cocyclicité dans C1 d'une part et C2 d'autre part.
               = (CE, CJ) + (BJ, BE) mod. π       car (CF) = (CE) et (BD) = (BE).
                   = (CE, CJ) + (CJ, CE) mod. π       cocyclicité dans C2
               = 0   mod. π

Les points F, A et D sont donc alignés.