ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Vigie      TD niveau 2nde/1ère        » angles inscrits et arc capable

Un observateur guette l'entrée du port schématisé ci-contre en longeant le quai ouest. La digue en cailloutis (en gris sur le schéma) n'est pas accessible.

Où doit se trouver l'observateur afin que son champ de vision soit le plus large possible ?

Indications :    

Notons :

• O, le sommet de l'angle Nord-Ouest de l'entrée du port;
• M, l'observateur;
• [AB] l'entrée du port (figure ci-dessous);
• I le milieu de [AB]

L'unité sera le décamètre.

• Considérer les cercles de rayon r centrés sur la médiatrice de [AB]. Pour tout point P de ces cercles, distinct de A et B, l'angle α = ^APB ne dépend pas de la position de P (propriété d'un angle inscrit interceptant une même corde).
   
• Prouver que la mesure de α est d'autant plus grande que le rayon r est petit.
   
• Compte tenu de la présence obligée de l'observateur sur la demi-droite (d) perpendiculaire en O à [O,A), justifier que la solution du problème réside en M : point de contact du cercle passant par A et B et tangent à (d).
   
• Construire M à la règle et au compas, puis calculer OM        Rép : 2 dam = 20 m.

 ➔   Pour placer M très simplement, on peut utiliser la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle :

• La droite (OM) devant être tangente au cercle optimal, comme (AB) est une sécante à ce cercle, on aura : OM² = OA.OB = 4 (l'unité est le dam). On retrouve OM = 2.