ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Cercle de
Monge #1 (cercle orthoptique)
étude géométrique
» Voir
l'animation» Une autre preuve (géométrie élémentaire) |
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A/ Cas de l'ellipse :
Il s'agit ici de montrer, par une méthode purement géométrique, sans passer par la méthode analytique présente ici, que l'ensemble des points M du plan d'où l'on peut mener deux tangentes perpendiculaires à une ellipse est un cercle, dit cercle de Monge ou cercle orthoptique de l'ellipse.
Soit P un point extérieur à une ellipse (e) de foyers F et F', ensemble des points M du plan euclidien tels que MF + MF' = 2a. Soit (c) le cercle directeur associé à F. C'est un cercle de centre F, de rayon 2a.
On sait que si (t) est une tangente à (e) issue de P, le
symétrique du foyer F' par rapport à cette tangente est situé sur (c).
»
Selon ce résultat et au vu de la figure ci-dessus, N et M désignant les points de tangence, on a :
PF' = PF2 = PF1 et ^F2PF1 = 2 × ^NPM
Les tangentes (t1) et (t2) seront perpendiculaires si et seulement si ^NPM = 90°, c'est à dire ^F2PF1 = 180°. Cela revient à exprimer que [F1F2] est un diamètre du cercle (cP) de centre P passant par F' : en termes de puissance d'un point par rapport à un cercle, c'est dire que P(c)(P) = -PF'2. Mais P(c)(P) = PF2 - (2a)2, d'où : PF2 + PF'2 = 4a2. » (c) est pseudo-orthogonal à (cP)
Rappel :
L'ensemble des points dont la somme des carrés des distances à deux points fixes A et B est constante est un cercle centré au milieu O de [AB]. » preuve
P décrit donc un cercle de centre O. Calculons son rayon : selon le théorème de la médiane, on a PF2 + PF'2 = 2OP2 + FF'2/2 = 4a2 - 2c2 en notant, comme selon la tradition, FF' = 2c avec a2 = b2 + c2, b désignant le demi petit-axe de l'ellipse. » ellipse
Conclusion :
P décrit le cercle de centre O, centre de l'ellipse, de rayon r vérifiant r2 = a2 + b2
➔ Voici la même figure générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
Si votre navigateur accepte les applets
Java (»
extension CheerpJ
) :
Vous pouvez déplacer le point M de l'ellipse (on a ici a = 3, b = 2, r2
= 5)
Une autre preuve (géométrie élémentaire) : »
B/ Le cas de l'hyperbole est rigoureusement identique, l'étude géométrique précédente n'utilisant que le support visuel de l'ellipse. Toutefois, pour l'hyperbole, on a a2 = b2 + c2, il nous faudra donc avoir a > b, auquel cas le rayon vérifie r2 = a2 - b2.
Concernant la parabole, on sait que la tangente est bissectrice de l'angle ^(MF,MH). On montrera sans difficulté que l'ensemble cherchée est sa directrice.
