ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cercle de Monge (cercle orthoptique)   étude géométrique non analytique
    
Une autre preuve (géométrie élémentaire)

A/ Cas de l'ellipse :     

Il s'agit ici de montrer, par une méthode purement géométrique, sans passer par la méthode analytique présente ici, que l'ensemble des points M du plan d'où l'on peut mener deux tangentes perpendiculaires à  une ellipse est un cercle, dit cercle de Monge ou cercle orthoptique de l'ellipse.

Soit P un point extérieur à une ellipse (e) de foyers F et F', ensemble des points M du plan euclidien tels que MF + MF' = 2a. Soit (c) le cercle directeur associé à F. C'est un cercle de centre F, de rayon 2a.

On sait que si (t) est une tangente à (e) issue de P, le symétrique du foyer F' par rapport à cette tangente est situé sur (c).    tangente à l'ellipse

Selon ce résultat et au vu de la figure ci-dessus, N et M désignant les points de tangence, on a :

PF' = PF2 = PF1 et  ^F2PF1 = 2 ^NPM

Les tangentes (t1) et (t2) seront perpendiculaires si et seulement si ^NPM = 90°, c'est à dire ^F2PF1 = 180°. Cela revient à exprimer que [F1F2] est un diamètre du cercle (cP) de centre P passant par F' : en termes de puissance d'un point par rapport à un cercle, c'est dire que P(c)(P) = -PF'2. Mais P(c)(P) = PF2 - (2a)2, d'où : PF2 + PF'2 = 4a2.         (c) est pseudo-orthogonal à (cP)

Or : L'ensemble des points dont la somme des carrés des distances à deux points fixes A et B est constante est un cercle centré au milieu O de [AB].     preuve

P décrit donc un cercle de centre O. Calculons son rayon : selon le théorème de la médiane, on a PF2 +PF'2 = 2OP2 + FF'2/2 = 4a2 - 2c2 en notant, comme selon la tradition, FF' = 2c avec a2 = b2 + c2, b désignant le demi petit-axe de l'ellipse.   ellipse

Conclusion :     

P décrit le cercle de centre O, centre de l'ellipse, de rayon r vérifiant r2 = a2 + b2.


Vous pouvez déplacer le point M de l'ellipse  (a = 3, b = 2, r2 = 5)

Une autre preuve (géométrie élémentaire) :

B/ Le cas de l'hyperbole est rigoureusement identique, l'étude géométrique précédente n'utilisant que le support visuel de l'ellipse. Toutefois, pour l'hyperbole, on a a2 = b2 + c2, il nous faudra donc avoir a > b, auquel cas le rayon vérifie r2 = a2 - b2.

Concernant la parabole, on sait que la tangente est bissectrice de l'angle ^(MF,MH). On montrera sans difficulté que l'ensemble cherchée est sa directrice.


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