ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Trapèze & moyenne harmonique          TD niveau 3ème/2nde      »   Trapèze & bissectrices | trapèze & segment médian | trapèze isocèle

ABCD est un trapèze. Ses côtés parallèles sont [AB] et [CD]. Ses diagonales se coupent en M. La parallèle à (AB) passant par M coupe [AD] en K et [BC] en L.

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Vous pouvez déformer le trapèze en déplaçant ses sommets A, B, C et D

On demande de prouver que KL est la moyenne harmonique de AB et CD :

 ➔   Dans le cas particulier d'un parallélogramme, on remarquera que le résultat reste vrai et trivial !

En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC coupé par la parallèle (ML) au côté [AB], on peut écrire :

CA/CM = AB/ML, c'est à dire : (CM + MA)/CM = AB/ML, soit :  1 + MA/MC = AB/ML

Or, (AB) // (DC) et en appliquant une seconde fois le théorème de Thalès dans la configuration croisée ci-dessus, on a : MA/MC = AB/DC.

Donc 1 + AB/DC = AB/ML. Divisons par AB : 1/AB + 1/DC = 1/ML.

Si M est le milieu de [KL], c'est gagné. Sinon, on a clairement, d'une part AK/AD = KM/DC et d'autre part BL/BC = ML/DC.

Appliquons alors le théorème de Thalès aux droites parallèles (AB), (KL) et (DC) coupées par les sécantes (AD) et (BC) : AK/AD = BL/BC. Finalement KM/DC = ML/DC : d'où KM = ML et M est le milieu de [KL].

 ➔  Rappelons que si O désigne l'intersection des côtés non parallèles. La droite (OM) passe par les milieux I et J des côtés [AB] et [CD] et la division [O,M,I,J] est harmonique. Ce dernier résultat est immédiat si on remarque qu'il existe deux homothéties (de rapports opposés) transformant [AB] en [CD] : celle de centre O et celle de centre M.