ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Pour la location de sa chambre d'étudiant en médecine, l'agence Locaruse propose à Maxime deux contrats au choix :

1. 400 € par mois avec une augmentation fixe de 20 € par an;

2. 400 € par mois avec une augmentation de 4,8% par an.

1° Pour chacun des deux contrats, quels seront les montants des loyers annuels de Maxime la deuxième année ?

2° Le 1er contrat semble plus onéreux. Soit u_n et v_n les loyers annuels correspondant respectivement au 1er et 2ème contrat au cours de la n-ème année de location; on pose u₁ = v₁ = 4800. Calculer u_n et v_n en fonction de l'année n de location en précisant la nature des suites (u_n) et (v_n).

3° Vérifier que le contrat 1 est plus intéressant dès la 4ème année. Si Maxime signe pour 7 ans, quel contrat a-t-il intérêt à choisir ? 
       
        ➔   Faire un tableau, on pourra utiliser un tableur.

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

1° Avec le 1er contrat, la seconde année, le loyer annuel sera, en euros, égal à (400 + 20) x 12, soit 5040 €.
    Avec le second contrat, il sera (400 + 4,8%  x 400) x 12, soit 5030,40 €.

2° On a :

• u_n = u_n-1 + 12 x 20 = u_n-1 + 240 : suite arithmétique de raison r = 240.
  Par conséquent, u_n = u₁ + (n - 1)r = 4800 + (n - 1) x 240, soit u_n = 240n + 4560.

• v_n = v_n-1 + 4,8% x v_n-1 = 1,048 x v_n-1 : suite géométrique de raison r = 1,048.
  Par conséquent, v_n = v₁ x r^n-1 soit v_n = 4800 x (1,048)^n-1.

3° Par calculs successifs ou au moyen du tableur, on constate que le loyer annuel du contrat 1 est moins onéreux dès la 4ème année mais ce n'est qu'à la 5ème année que le loyer cumulé du contrat 1 devient plus intéressant. Pour le calcul des loyers cumulés «à la main», il faut utiliser les formules :

• suite arithmétique : u₁ + ... + u_n = (u₁ + u_n) x n/2     »  (1er terme + dernier terme) x nb. de termes/2
  par exemple : u₁ + u₂ + u₃ +... + u₄ = (u₁ + u₄) x 4/2 = (4800 + 5520) x 2 = 20640.

• suite géométrique : u₁ + ... + u_n = u₁ x (1 - qⁿ)/(1 - q)     »  1er terme × (1 - q^{nb. de termes})/(1 - q)
  par exemple : u₁ + u₂ + u₃ +... + u₄ = 4800 x [1 - (1,048)⁴]/(1 - 1,048) ≅ 20627,17.

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 ➔   Le calcul des loyers cumulés sur 7 années montre que le contrat 1 est finalement plus intéressant : gain de 204,60 €.

On pourrait se poser la question de savoir si le contrat 1 sera toujours plus intéressant (au-delà de 5ans); il en est ainsi car le taux d'augmentation du contrat 2 reste de 4,8%. Or l'augmentation constante du loyer par le contrat 1 induit un pourcentage d'augmentation dégressif d'année en année car ce taux sera chaque année de 240/u_n : le dénominateur u_n augmente mais 240 reste fixe !

240/u_n < 4,8/100 ⇔ 24000 < 4,8u_n  ⇔ u_n > 5000.

Ainsi dès que les loyers seront équilibrés (sensiblement à la 4è année) , le contrat 1 sera plus intéressant car son taux d'augmentation sera (de plus en plus) inférieur à 4,8%.