ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Choisir son contrat de location    niveau 1ère/Terminale ES

Pour la location de sa chambre d'étudiant en médecine, l'agence Locaruse propose à Maxime deux contrats au choix :

  1. 400 € par mois avec une augmentation fixe de 20 € par an;

  2. 400 € par mois avec une augmentation de 4,8% par an.

Pour chacun des deux contrats, quels seront les montants des loyers annuels de Maxime la deuxième année ?

Le 1er contrat semble plus onéreux. Soit un et vn les loyers annuels correspondant respectivement au 1er et 2ème contrat au cours de la n-ème année de location; on pose u1 = v1 = 4800. Calculer un et vn en fonction de l'année n de location en précisant la nature des suites (un) et (vn).

Vérifier que le contrat 1 est plus intéressant dès la 4ème année. Si Maxime signe pour 7 ans, quel contrat a-t-il intérêt à choisir ? 
       
       Faire un tableau, on pourra utiliser un tableur.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Avec le 1er contrat, la seconde année, le loyer annuel sera, en euros, égal à (400 + 20) x 12, soit 5040 €.
    Avec le second contrat, il sera (400 + 4,8%
 x 400) x 12, soit 5030,40 €.

On a :

Par calculs successifs ou au moyen du tableur, on constate que le loyer annuel du contrat 1 est moins onéreux dès la 4ème année mais ce n'est qu'à la 5ème année que le loyer cumulé du contrat 1 devient plus intéressant. Pour le calcul des loyers cumulés «à la main», il faut utiliser les formules :

Télécharger le fichier Excel

Le calcul des loyers cumulés sur 7 années montre que le contrat 1 est finalement plus intéressant : gain de 204,60 €.

On pourrait se poser la question de savoir si le contrat 1 sera toujours plus intéressant (au-delà de 5ans); il en est ainsi car le taux d'augmentation du contrat 2 reste de 4,8%. Or l'augmentation constante du loyer par le contrat 1 induit un pourcentage d'augmentation dégressif d'année en année car ce taux sera chaque année de 240/un : le dénominateur un augmente mais 240 reste fixe !

240/un < 4,8/100 24000 < 4,8un  un > 5000. Ainsi dès que les loyers seront équilibrés (sensiblement à la 4è année) , le contrat 1 sera plus intéressant car son taux d'augmentation sera (de plus en plus) inférieur à 4,8%.


© Serge Mehl - www.chronomath.com