ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Point commun à 3 cercles (angles orientés) #2           niveau TerS      #1

Sur les trois côtés d'un triangle ABC, on place A' sur [BC], B' sur [CA] et C' sur [AB], aucun de ces points n'étant A, B ou C.

Prouver que les cercles circonscrits aux triangles AB'C', BC'A' et CA'B' ont un point commun S.

on calculera une mesure de l'angle de droites ^(KA',KB') ou de vecteurs ^(KA',KB')  afin de prouver que K, A', C et B' sont cocycliques.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Au moyen des angles orientés de droites :

On a, en angles orientés de droites, les égalités suivantes à kπprès :

^(SA',SB') = ^(SA',SC') + ^(SC',SB')          formule de Chasles pour les angles de droites
                
 = ^(BA',BC') + (AC',AB')     cocyclicité
                 = ^(BC,BA) + ^(AB,AC)
                 = ^(CB,CA)      
formule de Chasles pour les angles de droites vu que (BA) = (AB) et (CA) = (AC)
                 = ^(CA',CB')

Ce qui prouve que S appartient au cercle circonscrit au triangle CA'B'.

Au moyen des angles orientés de vecteurs :

On a, en angles de orientés de vecteurs, les égalités suivantes :

^(SA',SB') = ^(SA',SC') + ^(SC',SB')      [2π]        
                
 = ^(BA',BC') + (AC',AB')     cocyclicité
                 = ^(BC,BA) + ^(AB,AC)    [π]
                 = ^(BC,AB) + π + ^(AB,AC)    [π]
                 = ^(BC,AC)    [π]

                 = ^(CB,CA)     car (u,v) = (-u,-v)
                     
= ^(CA',CB')

Ce qui prouve que S appartient au cercle circonscrit au triangle  CA'B'.


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