ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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Cercles
sécants
(angles orientés)
#2
niveau TerS
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#1 |
Sur les trois côtés d'un triangle ABC, on place A' sur [BC], B' sur [CA] et C' sur [AB], aucun de ces points n'étant A, B ou C. Tracer les cercles circonscrits aux triangles AB'C', BC'A' et CA'B'.
Prouver que les trois cercles circonscrits ont un point commun S
Indication : on calculera une mesure de l'angle de droites ^(KA',KB') ou de vecteurs ^(KA',KB') afin de prouver que K, A', C et B' sont cocycliques.
Voici la même figure générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
Si votre navigateur accepte les applets
Java (»
extension CheerpJ
) :
Vous
pouvez modifier la figure en déplaçant les sommets du triangle ABC ainsi que A',
B', C'.
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
| Solution : |
Au moyen des angles orientés de droites :
On a, en angles orientés de droites, les égalités suivantes à kπprès :
^(SA',SB') = ^(SA',SC') + ^(SC',SB')
formule de Chasles pour les angles de droites
= ^(BA',BC')
+ (AC',AB')
cocyclicité
= ^(BC,BA) + ^(AB,AC)
= ^(CB,CA)
formule de Chasles pour les angles de droites vu
que (BA) = (AB) et (CA) = (AC)
= ^(CA',CB')
Ce qui prouve que S appartient au cercle circonscrit au triangle CA'B'.
Si votre navigateur accepte les applets
Java (»
extension CheerpJ) :
Vous
pouvez modifier la figure en déplaçant les sommets du triangle ABC ainsi que A',
B', C'.
Au moyen des angles orientés de vecteurs :
On a, en angles de orientés de vecteurs, les égalités suivantes :
^(SA',SB') = ^(SA',SC') + ^(SC',SB')
[2π]
= ^(BA',BC')
+ (AC',AB')
cocyclicité
= ^(BC,BA) + ^(AB,AC)
[π]
= ^(BC,AB) + π + ^(AB,AC)
[π]
= ^(BC,AC) [π]
= ^(CB,CA)
car (u,v) = (-u,-v)
= ^(CA',CB')
Ce qui prouve que S appartient au cercle circonscrit au triangle CA'B'.