ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cercles sécants & alignement (angles orientés)  #1     niveau TerS     »  #2

Trois cercles (c1), (c2) et (c3) passant par un point S sont sécants deux à deux.

• (c1) et (c2) se recoupent an A, (c2) et (c3) se recoupent en B, (c1) et (c3) se recoupent en C;

• Une droite passant par B recoupe (c2) en D et (c3) en E;

• (CE) recoupe (c1) en F.

On demande de prouver que les points A, F et D sont alignés

Indication : on calculera une mesure de l'angle de droites ^(AF,AD) ou de vecteurs ^(AF,AD) en utilisant, de cercle en cercle, les propriétés des angles inscrits.

 ➔   Voici la même figure générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :

Au moyen des angles orientés de droites :

On a, en angles orientés de droites, les égalités suivantes à kπ près  :

^(AF,AD) = ^(AF,AS) + ^(AS,AD)       formule de Chasles pour les angles orientés de droites
               = ^(CF,CS) + ^(BS,BD)       propriétés des angles inscrits interceptant le même arc
               = ^(CE,CS) + ^(BS,BD)          car (CE) = (CF) !
               = ^(BE,BS) + ^(BS,BD)
               = ^(BE,BD)
               = 0  [π]

 
Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Vous pouvez modifier la figure en déplaçant S ainsi que les cercles (c1), (c2), (c3)

Les trois points A, F et D sont donc alignés.

Au moyen des angles orientés de vecteurs :

On a, en angles orientés de vecteurs, les égalités suivantes :

^(AF,AD) = ^(AF,AS) + ^(AS,AD)    [2π]
               = ^(CF,CS) + ^(BS,BD)     [π]
               = ^(CE,CS) + ^(BS,BD)     [π]            
                        égalité toujours vraie modulo π car CE  et CF sont de même sens ou de sens contraire
               = ^(BE,BS) + ^(BS,BD)     [π]
               = ^(BE,BD)     [π]
               = 0  [π]

Les trois points A, F et D sont donc alignés.