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Théorème de Wilson

p désignant un entier naturel, le nombre (p - 1)! + 1 est divisible par p
si et seulement si p est premier

La démonstration de ce théorème est évidente si l'on sait que si p est premier, Z/pZ est un corps et que dans un champ de Galois (corps fini), le produit des éléments non nuls est égal à -1.

Preuve du théorème de Wilson en utilisant le corps Z/nZ :

Ce théorème peut aussi se démontrer de façon relativement élémentaire, objet de cette page, en utilisant la notion de congruence. Le théorème peut alors s'énoncer :

si p est un entier naturel : (p - 1)! -1  [p]   ssi   p est premier

Rappelons que dire a -1  [p] revient à dire a p - 1  [p] : ajouter p dans les deux membres et remarque que p 0   [p]

  1/ si (p - 1)! -1  [p] , alors p est premier :

En effet, si p est non premier, il admet au moins un diviseur d tel que 1 < d < p et par conséquent p = kd avec également 1 < k < p.

-  Si k > 2, alors p - 1 2k, car k + 1 > k et c'est gagné :le double de k, au moins, figure dans la liste.

-  Si k = 2, alors p = 4 et (p - 1)! = 6. Or 6 2  [4] et non pas -1 (équivalent à 3)

En conclusion, si p n'est pas premier, (p - 1)! ne peut être congru à -1  [p]. On a donc ainsi prouvé, par contraposition, notre proposition.

 2/ si p est premier , alors (p - 1)! ≡ -1  [p]  :

Lemme :   

Si p est premier et si p divise le produit ab, alors p divise a ou bien p divise b

Ce résultat est bien évident ! C'est une conséquence du théorème de Gauss.

-  unicité : si xy 1 [p] et si xz 1 [p], alors x(y - z) 0 [p]. Comme p est premier, selon notre lemme, il divise x ou y - z, donc x 0 (à rejeter) ou (y - z) 0, c'est dire que y z [p] et comme y et z sont inférieurs à p, il suit que y = z.

-  existence : pour k vérifiant 2 k p - 2, considérons la liste k, 2k, 3k, ..., k(p - 1). Tous ces produits sont distincts et non nuls. Ils le sont aussi (distincts et non nuls) modulo p puisque p est premier (supposer ak = bk [p] et raisonner comme précédemment) et forment donc une suite de p - 1 nombres modulo p, à savoir 1, 2, ... (p - 1). Un seul de ces produits vaut 1 modulo p.

Ainsi en regroupant les facteurs de (p - 1)! deux par deux, nous aurons, modulo p :

(p - 1)! = 2 3 ... (p - 2) (p - 1) 1 1 ... (p - 1) p - 1 -1

C.Q.F.D.

Petit théorème de Fermat :


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