ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
CORNU Alfred Marie, français, 1841-1902 |
Polytechnicien,
ingénieur des mines, professeur de physique à l'Ecole
polytechnique. Il fut aussi membre du Bureau
des longitudes et participa
à la construction de l'observatoire de Nice.
Travaux en météorologie, en
minéralogie, en acoustique et en optique sur la diffraction de
la lumière.
Spirale de Cornu (1874, Étude sur la diffraction) :
En fait étudiée auparavant par Jacques Bernoulli dans ses recherches sur l'élasticité et par Euler qui en découvrit l'équation, cette courbe a pour propriété caractéristique la proportionnalité de sa courbure (1/R) à la longueur de l'arc (s) compté depuis l'origine O (abscisse curviligne).
R désignant le rayon de courbure en chaque point, le produit R x s est constant, ce qui conduit à une courbe paramétrée définie par les intégrales de Fresnel sur l'intervalle [0,t], t > 0 :
La spirale est aussi appelée clothoïde, du grec klôthein = filer, au sens du fil sur le rouet. Elle est très difficile à tracer puisque l'on ne connaît pas les primitives des fonctions cos(u2) et sin(u2). Si l'on pose R x s = a2, le point asymptote du 1er quadrant a pour coordonnées x = y = a√π/2, le second point est symétrique par rapport à O.
» Un programme sur ordinateur Macintosh, obtenu par le logiciel AnaGraph, conçu par l'auteur de ces lignes et aujourd'hui obsolète (pas encore l'auteur, mais le logiciel...), en donne un aperçu ci-dessous.
Applications :
Mécaniquement,
la
spirale de Cornu est une trajectoire pour laquelle une accélération γ constante
engendre une force centrifuge constante. Ce résultat a son application dans la
construction autoroutière (entrée sur une courbe, bretelle de raccordement). En
particulier, à vitesse constante (γ = 0), en respectant celle indiquée, en suivant rigoureusement la courbe (pas de
coup de volant intempestif...), on doit pouvoir négocier le virage sans
problème...
La
spirale de cornu voit également son application dans la fabrication des trains à
grandes vitesse et des voies ferroviaires. Dans les virages, les voies sont
inclinées pour contrebalancer la force centrifuge susceptible de faire dérailler
le train, lequel à tendance à aller tout droit... Plutôt que de construire des
voies nouvelles inclinées et/ou à grand rayon de courbure diminuant la force
centrifuge, on incline le train en fonction de la vitesse et de la courbure, ce
qui revient à simuler
la formule optimale R × s = cte : c'est le
principe du train pendulaire, comme en Italie, par
exemple.
➔ Pour en savoir plus :
Principe du train pendulaire (site externe de Gabriel Fourga
Laisant