ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

CORNU Alfred Marie, français, 1841-1902         
         
Auguste Renoir (1841-1919) peintre impressionniste français

Polytechnicien, ingénieur des mines, professeur de physique à l'Ecole polytechnique. Il fut aussi membre du Bureau des longitudes et participa à la construction de l'observatoire de Nice. Travaux en météorologie, en minéralogie, en acoustique et en optique sur la diffraction de la lumière.

Spirale de Cornu (1874, Étude sur la diffraction) :                                                  

En fait étudiée auparavant par Jacques Bernoulli dans ses recherches sur l'élasticité et par Euler qui en découvrit l'équation, cette courbe a pour propriété caractéristique la proportionnalité de sa courbure (1/R) à la longueur de l'arc (s) compté depuis l'origine O (abscisse curviligne).

R désignant le rayon de courbure en chaque point, le produit R x s est constant, ce qui conduit à une courbe paramétrée définie par les intégrales de Fresnel sur l'intervalle [0,t], t > 0 :

La spirale est aussi appelée clothoïde , du grec klôthein = filer, au sens du fil sur le rouet. Elle est très difficile à tracer puisque l’on ne connaît pas les primitives des fonctions cos(u2) et sin(u2).

Si l'on pose R x s = a2, le point asymptote du 1er quadrant a pour coordonnées x = y = aπ/2, le second point est symétrique par rapport à O.

  Un programme sur ordinateur Macintosh, obtenu par le logiciel AnaGraph, conçu par l'auteur de ces lignes et aujourd'hui obsolète (pas encore l'auteur, mais le logiciel...), en donne un aperçu à droite.

Applications :    

 Mécaniquement, la spirale de Cornu est une trajectoire pour laquelle une accélération γ constante engendre une force centrifuge constante. Ce résultat a son application dans la construction autoroutière (entrée sur une courbe, bretelle de raccordement). En particulier, à vitesse constante (γ = 0), en respectant celle indiquée, en suivant rigoureusement la courbe (pas de coup de volant intempestif...), on doit pouvoir négocier le virage sans problème...

La spirale de cornu voit également son application dans la fabrication des trains à grandes vitesse et des voies ferroviaires. Dans les virages, les voies sont inclinées pour contrebalancer la force centrifuge susceptible de faire dérailler le train, lequel à tendance à aller tout droit... Plutôt que de construire des voies nouvelles inclinées et/ou à grand rayon de courbure diminuant la force centrifuge, on incline le train en fonction de la vitesse et de la courbure, ce qui revient à simuler la formule optimale R x s = cte : c'est le principe du train pendulaire, comme en Italie, par exemple.

Principe du train pendulaire (site externe de Gabriel Fourga)


Mertens  Laisant
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